Question

Determinar a posição do ponto P em relação à circunferência no caso:
p(0,0) e λ$x^{2} + y^{2} - \sqrt{3x} + \pi y-1=0$

Answer 1

Primeiramente, vamos escrever a equação da circunferência λ na forma reduzida completando os quadrados:

$x^2+y^2-\sqrt3x+\pi y-1=0\\\\ x^2-\sqrt3x+y^2-\pi y=1\\\\ x^2-\sqrt3x+\dfrac{3}{4}+y^2-\pi y+\dfrac{\pi^2}{4}=1+\dfrac{3}{4}+\dfrac{\pi^2}{4}\\\\ \lambda:~~(x-\frac{\sqrt3}{2})^2+(y-\frac{\pi}{2})^2=\dfrac{7+\pi^2}{4}$

Assim, o raio da circunferência é $r=\sqrt{\dfrac{7+\pi^2}{4}}=\dfrac{\sqrt{7+\pi^2}}{2}$.

Agora, devemos calcular a distância d do ponto P ao centro $(\frac{\sqrt3}{2},\frac{\pi}{2})$ da circunferência.

Se d>r, o ponto está fora da circunferência.
Se d=r, o ponto está na circunferência.
Se d<r, o ponto está dentro da circunferência.

Calculando o valor de d:

$d=\sqrt{(x_c-x_p)^2+(y_c-y_p)^2}\\\\ d=\sqrt{(\frac{\sqrt3}{2}-0)^2+(\frac{\pi}{2}-0)^2}\\\\ d=\sqrt{(\frac{\sqrt3}{2})^2+(\frac{\pi}{2})^2}\\\\ d=\sqrt{\dfrac{3}{4}+\dfrac{\pi^2}{4}}\\\\ d=\sqrt{\dfrac{3+\pi^2}{4}}\\\\ d=\dfrac{\sqrt{3+\pi^2}}{2}$

Podemos ver que $d\ \textless \ r$. Logo, o ponto P está dentro da circunferência λ.