Question

determinar a p g cuja soma dos seis primeiros termos é 7812 e a razão é 5

Answer 1

Resolvemos o problema quando tivermos todos os termos da P.G. cuja soma é 7812. Para isso, precisamos conhecer o primeiro termo, e fazemos isso aplicando a fórmula da soma dos n primeiros termos da P.G.. Veja,

$S_n = \dfrac{a_1 - a1\cdot q^n}{1-q}\\\\ como\:\: n = 6,\\\\ S_6 = \dfrac{a_1 - a1\cdot 5^6}{1-5} \Rightarrow 7812 = \dfrac{a_1 - a1\cdot 5^6}{1-5}\\\\ 7812 \cdot (1-5) = a_1\cdot(1-5^6) \Rightarrow 7812(-4) = a_1\cdot(-15624)\\\\ \dfrac{-31248}{-15624} = a_1 \Rightarrow a_1 = 2$


Os termos da P.G.:

$a_1 = 2\\ a_2 = a_1 + a_1 \cdot q = 2 + 2 \cdot 5 = 12\\ a_3 = a_1 + a_1 \cdot q^2 = 2 + 2 \cdot 25 = 52\\ a_4 = a_1 + a_1 \cdot q^3 = 2 + 2 \cdot 125 = 252\\ a_5 = a_1 + a_1 \cdot q^4 = 2 + 2 \cdot 625 = 1252\\ a_6 = a_1 + a_1 \cdot q^5 = 2 + 2 \cdot 3125 = 6252$


Portanto, a P.G. é (2, 12, 52, 252, 1252, 6252). E, de fato, a soma dos termos é

2 + 12 + 52 + 252 + 1252 + 6252 = 7812