Question

Determinar a P.G (a1, a2 , a3 ,....) Em que a5 + a3 =360 e a6 + a4 = 1080

Me ajudem por favorrr

Answer 1

Resposta:

Olá! A resposta é $4,12,36,108,324,,972,...$

Explicação passo a passo:

Perceba pelas informações da questão que

$a_{5}+a_{3}=360$

$a_{6}+a_{4}=1080$

usando o termo geral da progressão geométrica (PG), que é denotado por:

$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}$

• $a_{n}$ é o termo da sequência que deseja-se encontar;
• $a_{1}$ é o primeiro termo da sequência;
• $q$ é a razão da progressão geométrica;
• $n$ é o número da posição que se encontra o termo na progressão geométrica.

Assim, $a_{5}$, $a_{3}$, $a_{6}$ e $a_{4}$ é definido por

$a_{n} = a_{1}\cdot q^{n-1}$

$a_{5} = a_{1}\cdot q^{5-1}$

$a_{5}=a_{1}\cdot q^{4}.$

$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}$

$a_{6}=a_{1}\cdot q^{6-1}$

$a_{6}=a_{1}\cdot q^{5}.$

$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}$

$a_{4}=a_{1}\cdot q^{4-1}$

$a_{4}=a_{1}\cdot q^{3}.$

$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}$

$a_{3}=a_{1}\cdot q^{3-1}$

$a_{3}=a_{1}\cdot q^{2}.$

substituindo os valores acima em $a_{5}+a_{3}=360$  e em $a_{6}+a_{4}=1080$ tem-se:

$a_{5}+a_{3}=360$

$a_{1}\cdot q^{4}+a_{1}\cdot q^{2}=360.$

$a_{6}+a_{4}=1080$

$a_{1}\cdot q^{5} + a_{1}\cdot q^{3}=1080.$

Perceba que $1080 = 360 \cdot 3$, assim:

$a_{1}\cdot q^{5} + a_{1}\cdot q^{3}=1080$

$a_{1}\cdot q^{5} + a_{1}\cdot q^{3}=\textbf{360} \cdot 3$

Perceba agora que $360=a_{1}\cdot q^{4}+a_{1}\cdot q^{2}$, basta substituir na equação acima, assim

$a_{1}\cdot q^{5} + a_{1}\cdot q^{3}=\textbf{360} \cdot 3$

$a_{1}\cdot q^{5} + a_{1}\cdot q^{3}=3\cdot \left(a_{1}\cdot q^{4}+a_{1}\cdot q^{2}\rigth)$

$q\cdot \left( a_{1}\cdot q^{4} +a_{1}\cdot q^{2} \rigth)=3\cdot \left(a_{1}\cdot q^{4}+a_{1}\cdot q^{2}\rigth)$

$q =3\cdot \displaystyle\frac{ \left(a_{1}\cdot q^{4}+a_{1}\cdot q^{2}\rigth)}{\left( a_{1}\cdot q^{4} +a_{1}\cdot q^{2} \rigth)}$

$q=3$

percebe-se que $q=3$, e para determinar o valor de $a_{1}$ basta substituir o valor de $q=3$ em $a_{1}\cdot q^{4}+a_{1}\cdot q^{2}=360$, assim

$a_{1}\cdot q^{4}+a_{1}\cdot q^{2}=360$

$a_{1}\cdot (3)^{4}+a_{1}\cdot (3)^{2}=360$

$81a_{1}+9a_{1}=360$

$90a_{1}=360$

$a_{1}=\displaystyle\frac{360}{90}$

$a_{1}=4.$

Como uma progressão geométrica é uma sequência quando cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior por uma  constante denominada (razão) da PG, assim

$a_{1}=4$

$a_{2}= a_{1}\cdot 3 = 4 \cdot 3 = 12$

$a_{3} = a_{2}\cdot q = 12 \cdot 3 = 36$

$a_{4}=a_{3}\cdot q = 36 \cdot 3=108$

$a_{5} = a_{4}\cdot q = 108 \cdot 3=324$

$a_{6} = a_{5} \cdot q = 324 \cdot 3 = 972$

Portanto a PG é

$\left( 4, 12, 36, 108, 324, 972,... \rigth)$

Bons estudos. Ah! Caso deseje praticar mais, segue algumas questões interessantes. ;-)

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