Question

Determinar a matriz inversa
A= 3 4
2 3
Me ajudem

Answer 1

Há várias formas de se determinar a matriz inversa.

No caso particular de matrizes 2 × 2, podemos usar o método prático descrito a seguir:

     •  1.  Calcule o determinante da matriz. Se o determinante for diferente de zero, siga para o passo 2. Se for igual a zero, a matriz não possui inversa.

     •  2.  Troque de posição os elementos da diagonal principal, e troque os sinais dos elementos da diagonal secundária.

     •  3.  Multiplique a matriz resultante do passo anterior pelo inverso do valor do determinante que você encontrou no passo 1. O resultado será a matriz inversa procurada.


     Atenção:  O método acima só funciona para matrizes quadradas 2 × 2, isto é com 2 linhas e 2 colunas.


Resumindo, dada uma matriz A invertível

     $\mathbf{A}=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22} \end{bmatrix}$


a sua inversa será

     $\mathbf{A}^{\!-1}=\dfrac{1}{\det\mathbf{A}}\cdot \begin{bmatrix}a_{22}&-a_{12}\\-a_{21}&a_{11} \end{bmatrix}$

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No caso desta questão, fazemos assim:

     •  1.  Calcule o determinante da matriz A:

         $\det \mathbf{A}=\det\begin{bmatrix}3&4\\2&3 \end{bmatrix}\\\\\\ \det \mathbf{A}=3\cdot 3-2\cdot 4\\\\ \det \mathbf{A}=9-8\\\\ \det \mathbf{A}=1$


Como det A = 1 ≠ 0, seguimos para o passo 2.


     •  2.  Troque os elementos da diagonal principal de posição, e troque os sinais dos elementos da diagonal secundária. Fazendo isso, você obtém a matriz  $\begin{bmatrix}3&-4\\-2&3 \end{bmatrix}.$


     •  3.  Agora multiplique o inverso do determinante de A pela matriz obtida no passo 2. Dessa forma, a matriz inversa de A procurada é

        $\mathbf{A}^{\!-1}=\dfrac{1}{\det\mathbf{A}}\cdot \begin{bmatrix}a_{22}&-a_{12}\\-a_{21}&a_{11} \end{bmatrix}\\\\\\ \mathbf{A}^{\!-1}=\dfrac{1}{1}\cdot \begin{bmatrix}3&-4\\-2&3 \end{bmatrix}\\\\\\ \mathbf{A}^{\!-1}=1\cdot \begin{bmatrix}3&-4\\-2&3 \end{bmatrix}$

        $\mathbf{A}^{\!-1}=\begin{bmatrix}3&-4\\-2&3 \end{bmatrix}\quad\longleftarrow\quad\mathsf{esta~\acute{e}~a~resposta.}$


Você pode conferir a corretude da resposta multiplicando a matriz A pela sua inversa e obtendo a matriz identidade de ordem 2:

     $\mathbf{A}\cdot \mathbf{A}^{\!-1}=\mathbf{A}^{\!-1}\cdot \mathbf{A}=\mathbf{I}_2=\begin{bmatrix}1&0\\0&1 \end{bmatrix}$

Bons estudos! :-)