Question

Determinar a leitura no manômetro diferencial de mercúrio, que originalmente se encontrava na posição indicada na figura, após aplicar-se uma força descendente de 5 N ao pistão. Desprezar resistências devido ao atrito no pistão.

Answer 1

Em anexo estão duas imagens, a primeira representa a situação em equilíbrio antes da força de 5 N, e a segunda após a força.

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Legenda:

    •  distância fixa medida da base do êmbolo na 1º situação até o ponto de encontro dos líquidos :   $\mathsf{h}$

    •  distância que o embolo se desloca para baixo :  $\mathsf{x_E}$

    •  distância que o ponto de encontro dos líquidos desce no tubo da esquerda e também a que o menisco sobe no tubo da direita :  $\mathsf{x_M}$

    •  pressão exercida pelo embolo devido ao seu peso :  $\mathsf{p_E}$

    •  pressão exercida pelo embolo na segunda situação :  $\mathsf{p_{EF}}$

    •  pressão atmosférica :  $\mathsf{P_{ATM}}$

    •  área do embolo :  $\mathsf{A_E}$

    •  área do tubo :  $\mathsf{A_T}$

    •  peso específico do óleo :  $\mathsf{\gamma_o}$

    •  peso específico do mercúrio :  $\mathsf{\gamma_m}$

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Da primeira situação, vem

    $\mathsf{p_E+\gamma_oh=\gamma_m0,1+P_{ATM}}$

    $\mathsf{p_E=\gamma_m0,1-\gamma_oh+P_{ATM}\ \ \ \ \ (i)}$

Da segunda situação, vem

    $\mathsf{p_{EF}=p_E+\dfrac{5}{A_E}=\gamma_m0,1-\gamma_oh+\dfrac{5}{A_E}+P_{ATM}\ \ \ \ \ (ii)}$

    $\mathsf{p_{EF}+\gamma_o(h-x_E+x_M)=\gamma_m(0,1+2x_M)+P_{ATM}\ \ \ \ \ (iii)}$

Sabendo que os líquidos são considerados incompressíveis pois variam muito pouco seu volume, da conservação de volumes vem

    $\mathsf{x_E\cdot A_E=x_M\cdot A_T}$

    $\mathsf{x_E=\dfrac{x_M\cdot A_T}{A_E}\ \ \ \ \ (iv)}$

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Substituindo (ii) em (iii)

    $\mathsf{\gamma_m0,1-\gamma_oh+\dfrac{5}{A_E}+\diagup\!\!\!\!\!P_{ATM}+\gamma_o(h-x_E+x_M)=\gamma_m(0,1+2x_M)+\diagup\!\!\!\!\!P_{ATM}}$

    $\mathsf{\gamma_m0,1-\gamma_oh+\dfrac{5}{A_E}+\gamma_oh-\gamma_ox_E+\gamma_ox_M=\gamma_m0,1+2\gamma_mx_M}$

    $\mathsf{\dfrac{5}{A_E}-\gamma_ox_E+\gamma_ox_M=2\gamma_mx_M\ \ \ \ \ (v)}$

Substituindo (iv) em (v)

    $\mathsf{\dfrac{5}{A_E}-\gamma_o\dfrac{x_M\cdot A_T}{A_E}+\gamma_ox_M=2\gamma_mx_M\ \ \ \ \ \ \ x(A_E)}$

    $\mathsf{5-\gamma_ox_M\cdot A_T+\gamma_ox_MA_E=2\gamma_mx_MA_E}$

    $\mathsf{-\gamma_ox_M\cdot A_T+\gamma_ox_MA_E-2\gamma_mx_MA_E=-5}}$

    $\mathsf{x_M(-\gamma_oA_T+\gamma_oA_E-2\gamma_mA_E)=-5}$

    $\mathsf{x_M=\dfrac{-5}{-\gamma_oA_T+\gamma_oA_E-2\gamma_mA_E}}$

    $\mathsf{x_M=\dfrac{-5}{-920\cdot g\cdot \pi\cdot (0,005)^2+920\cdot g\cdot \pi\cdot (0,02)^2-2\cdot 13560\cdot g\cdot \pi\cdot (0,02)^2}}$

    $\mathsf{x_M=\dfrac{-5}{9,8066\pi[-920\cdot (0,005)^2+920\cdot (0,02)^2-2\cdot 13560\cdot (0,02)^2]}}$

    $\mathsf{x_M=0,01545\ m}$

A leitura no manômetro será

    $\mathsf{\Delta H=0,1 + 2x_M}$

    $\mathsf{\Delta H=0,1 + 2\cdot 0,1545}$

    $\boxed{\mathsf{\Delta H=0,1309\ m}}$

Bons estudos! :)