Question

Determinar a função inversa, alguém pode me ajudar ?​

Answer 1

Na função inversa, o que antes era domínio (na função original) vira imagem e o que então era imagem vira domínio.

Em outras palavras, o domínio da inversa é igual a imagem da função original e a imagem da inversa é o domínio da original.

A função f(x) tem domínio nos Reais e Imagem nos Reais (R->R), no entanto, como está separada em partes, o domínio e imagem ficam também particionados.

Perceba que o domínio destas duas partições de f(x) já são dadas, temos domínio Real maior ou igual a 0 (x≥0) para f(x)=x²-1 e domínio Real menor que 0 (x<0) para f(x)=x-1.

Vamos passar a determinar a inversa.

1) Para cada partição, trocar "x" por "y":

$\left\begin{array}{ccc}y~=~x^2-1&~~~~~~~~~~&y~=~x-1\\\downarrow&&\downarrow\\\boxed{x~=~y^2-1}&&\boxed{x~=~y-1}\end{array}\right$

2) Isolar novamente a variável "y":

$\left\begin{array}{ccc}\boxed{x~=~y^2-1}&~~~~~~~~~~&\boxed{x~=~y-1}\\\downarrow&&\downarrow\\x+1~=~y^2&&x+1~=~y\\\downarrow&&\downarrow\\\boxed{y~=~\sqrt{x+1}}&&\boxed{y~=~x+1}\end{array}\right$

A inversa será, então, dada por:

$f^{-1}(x)~=~\left\{\begin{array}{ccc}\sqrt{x+1}&&\\&&\\x+1&&\end{array}\right$

Perceba que ainda precisamos determinar o domínio destas duas partições, no entanto, pelo que já foi falado anteriormente, já temos a imagem da função inversa, logo vamos utilizar esta informação para determinar os domínios.

$Para~f^{-1}=\sqrt{x+1},~a~imagem~\acute{e}~x\ge0,~logo~o~dominio~sera:\\\\\\\sqrt{x+1}\ge0\\\\\\x+1\ge0^2\\\\\\x\ge0-1\\\\\\\boxed{x\ge-1}$

$Para~f^{-1}=x+1,~a~imagem~\acute{e}~x<0,~logo~o~dominio~sera:\\\\\\x+1<0\\\\\\\boxed{x<-1}$

Assim, temos que a função inversa será dada por:

$f^{-1}:R\rightarrow R~|~f^{-1}(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\sqrt{x+1}&,&se~x\ge-1\\&&\\x+1&,&se~x<-1\end{array}\right$