Question

Determinar a equacao reduzida da parábola com f(4,3) e v(4,1)

Answer 1

Resposta:

$y = \frac{1}{8} x^2 -x +3$

Explicação passo-a-passo:

Considerando a forma reduzida da equação da parábola: $y = ax^2 + bx +c$

O foco e o vértice da parábola têm o mesmo valor da coordenada abscissa(x), com o foco superior ao vértice, daí se conclui que a parábola tem concavidade para cima (a > 0).

A distância focal é dada por:

$\frac{p}{2} = y_{f} - y_{v}\\ p = 2 * (3-1)\\p=4$

As relações para a distância focal e o vértice usando os coeficientes da função reduzida:

$p = \frac{1}{2a} \\x_{v} =-\frac{b}{2a}\\ y_{v} =-\frac{b^2-4ac}{4a}$

Fazendo as substituições, com $x_{v} = 4$ e $y_{v} = 1$

$4 = -\frac{1}{2a}\\ a = \frac{1}{8}$

$4 = -\frac{b}{2*\frac{1}{8} } \\4 = -\frac{b}{\frac{1}{4} } \\b = -1$

$1 =-\frac{(-1)^2-4*\frac{1}{8} c}{4*\frac{1}{8} }\\\\-1 = \frac{1-\frac{1}{2}c}{\frac{1}{2} } \\\\ -\frac{1}{2}=1-\frac{1}{2}c\\ c = 3$

Assim,

$y = \frac{1}{8} x^2 -x +3$