Question

Determinar a equação geral do plano que passa pelo ponto A(3,-2,4) sendo n=(2,3,4) um vetor normal a esse plano.

Answer 1

A= (x0,y0,z0) ---> A=(3,-2, 4)
n=(a,b,c)  ---> n=(2,3,4)
Equação geral do plano = ax+by+cz+d=0

Desmembrando a equação geral do plano...
a(x-x0) + b(y-y0) + c(z-z0) = 0

Substituindo e aplicando...

2(x-3) + 3(y+2) + 4(z-4) = 0
2x - 3y + 4z - 6 + 6 - 16 = 0

Resposta

2x - 3y + 4z - 16 = 0

Answer 2

✅ Tendo finalizado os cálculos, concluímos que a equação geral do plano é:

 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf \pi: 2x + 3y + 4z - 16 = 0\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os dados:

                     $\Large\begin{cases} \vec{n} = (2, 3, 4)\\A(3, -2, 4)\end{cases}$

Se queremos encontrar a equação geral do plano cujo vetor normal é "n" e passa pelo ponto "P" do espaço tridimensional, devemos utilizar a seguinte fórmula:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf I\end{gathered}$        $\large\displaystyle\begin{gathered} X_{n}\cdot X + Y_{n}\cdot Y + Z_{n}\cdot Z = X_{n}\cdot X_{A} + Y_{n}\cdot Y_{A} + Z_{n}\cdot Z_{A}\end{gathered}$

Substituindo tanto as coordenadas do ponto "A" quanto as componentes do vetor "n" na equação "I", temos:

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} 2\cdot x + 3\cdot y + 4\cdot z = 2\cdot3 + 3\cdot(-2) + 4\cdot4\end{gathered}$

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} 2x + 3y + 4z = 6 - 6 + 16\end{gathered}$

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} 2x + 3y + 4z = 16\end{gathered}$

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} 2x + 3y + 4z - 16 = 0\end{gathered}$

✅ Portanto, a equação do plano é:

      $\Large\displaystyle\begin{gathered} \pi: 2x + 3y + 4z - 16 = 0\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$