Question

Determinar a equação geral do plano que contém o ponto A(3,-1,2) e a reta:

r: $\left \{\right {{x=t;} \atop {y=2-t;} \atop {z=3+2t;} }$

obs: a reta r deve está no formato paramétrico.

Answer 1

Pelas paramétricas da reta r, vemos que um vetor diretor de r é u=(1, -1, 2) e um ponto que pertence a reta é P = (0, 2, 3)

Portanto podemos determinar um vetor AP = (0-3, 2-(-1), 3-2) = (-3, 3, 1)

Vemos que o vetor u e o vetor AP são diretores do plano, uma vez que r e A pertencem ao plano. Assim podemos determinar um vetor normal ao plano pelo produto vetorial de u e AP.
               |  i   j   k  |
u x AP = | 1  -1  2  | = (-1-6, -6-1, 3-3) = (-7, -7, 0)
              | -3  3   1  |

Podemos tomar o vetor (-7, -7, 0) como normal ao plano, ou qualquer vetor proporcional a esse. Portanto, para facilitar os cálculos vamos dividir esse vetor por -7 e teremos o vetor (1, 1, 0) que também é normal ao plano. Assim a equação do plano será.

1x + 1y + 0z = d ⇒
x + y = d

Para determinar o valor de "d", usamos o fato de que o ponto A = (3, -1, 2) pertence ao plano, portanto suas coordenadas devem satisfazer a equação do plano. Substituindo as coordenadas de A na equação do plano temos que:

x + y = d ⇒
3 + (-1) = d ⇒
d = 2

Assim a equação do plano será:

x + y = 2

Answer 2

A equação geral do plano é x + y = 2.

A equação cartesiana do plano é da forma ax + by + cz = d, sendo (a,b,c) o vetor normal.

Para montarmos a equação geral do plano, precisamos de um vetor normal e um ponto.

De acordo com o enunciado, temos que o ponto A(3,-1,2) pertence ao plano.

Então, precisamos do vetor normal.

Como a reta r pertence ao plano, então o vetor u = (1,-1,2) é paralelo ao plano.

Da equação da reta, temos o ponto B(0,2,3), que também pertence ao plano.

Fazendo o vetor AB = v, obtemos:

AB = (0 - 3, 2 + 1, 3 - 2)

AB = (-3,3,1).

Temos dois vetores paralelos ao plano. Para obtermos o vetor normal, vamos calcular o produto vetorial entre u e v:

$uxv=\left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\1&-1&2\\-3&3&1\end{array}\right]$

u x v = i((-1).1 - 3.2) - j(1.1 - (-3).2) + k(1.3 - (-3).(-1))

u x v = -7i - 7j + 0k

u x v = (-7,-7,0).

Logo, a equação do plano é da forma -7x - 7y = d.

Substituindo o ponto A:

-7.3 - 7.(-1) = d

-21 + 7 = d

d = -14.

A equação do plano é -7x - 7y = -14 ∴ x + y = 2.

Para mais informações sobre equação do plano: https://brainly.com.br/tarefa/18196418