Question

Determinar a equação da reta tangente a parábola y^2=20x que e paralela a reta y=x?

Answer 1

Equação da reta tangente à parábola $\sf y^2=20x$ e que é paralela à reta y =x.

Reta tangente à parábola :

$\sf y=mx+p$

Sabemos que m = y', então vamos derivar à equação da parábola :

$\displaystyle \sf y^2 = 20x\to y = \pm(20)^{\frac{1}{2}} \to y = (20x)^{\frac{1}{2}}\\\\ \underline{Derivando}: \\\\ \sf m=y' = \left[(20x)^{\frac{1}{2}}\right]' \\\\\\ m=y'= \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{(20x)^{\frac{1}{2}}}\cdot (20x)' \\\\\\ m = y' =\frac{10}{\sqrt{20x}}$

Se a equação da reta tangente é paralela à reta y = x, isso implica que seus coeficientes angulares são iguais. Ou seja :

$\displaystyle \sf m= 1 \\\\ \frac{10}{\sqrt{20x}} = 1 \to 10=\sqrt{20x} \\\\\\ 100 = 20 x\to \boxed{\sf x = 5 }$

Substituindo o valor de x = 5 na equação da parábola :

$\sf y^2=20.5\\\\\ y^2 =100 \\\\ \boxed{\sf y = 10 }$

Substituindo o ponto (5 , 10) na equação da reta tangente :

$\sf y = x+ p \\\\ 10 = 5 + p \\\\ \boxed{\sf p = 5 }$

Portanto a equação da reta tangente à parábola é :

$\displaystyle \sf y = x + 5 \\\\\\ \huge\boxed{\sf x-y+5=0\ }\checkmark$