Question

Determinar a equação da reta ou retas que passam pelo ponto P(-4,0) e são tangentes à circunferência (Y invertido) (x-1)^2+y^2=5​

Só responda se souber a resposta, caso contrário vou denunciar

Answer 1

Temos duas possibilidades para retas tangentes, uma sendo crescente e outra descrente.

Reta crescente vou chamar de reta r

Reta decrescente vou chamar de reta s

r e s passa pelo ponto $P(-4,0)$

substituindo na eq da reta $y -y_o = a.(x-x_o)$ :

$y - 0 = a.(x-(-4)) \to \fbox{\displaystyle y=a.(x+4) }$

substituindo esse y na equação da circunferência para achar as interseções

$(x-1)^2 +[a.(x+4)]^2 = 5$

$x^2-2x+1+a^2.x^2+8.a^2x+16.a^2-5 = 0$

$x^2(1+a^2) +x(8a^2-2) + (16a^2-4) = 0$

Na reta, para cada valor de x eu tenho um valor em y. Portanto só temos uma raiz.

Então vamos fazer $\Delta = 0$

$(8a^2-2)^2 -4.(16a^2-4).(1+a^2) = 0$

$64a^4-32a^2 + 4 - 64a^4 - 48a^2 +16 = 0$

$\displaystyle -80a^2+20 = 0 \to a^2 = \frac{20}{80} \to a^2 = \frac{1}{4}$

$\displaystyle a = \sqrt{\frac{1}{4}} \to \fbox{\displaystyle a=\pm\frac{1}{2} }$

Portanto as retas são :

$\displaystyle r : \ y_1 = \frac{1}{2}(x+4) \to \fbox{\displaystyle r : \ y_1 = \frac{x}{2} + 2 }$

$\displaystyle s: \ y_2 = \frac{-1}{2}(x+4) \to \fbox{\displaystyle s: \ y_2 = \frac{-x}{2} - 2 }$  

( imagem do gráfico para melhor compreensão)