Question

Determinar a equação da circunferência que passa por A = (-1, 0) e B = (1, 0) e tem raio √10.

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Seja C(a, b) o centro da circunferência. A distância do centro até o ponto A é igual ao raio $\sqrt{10}$ e a distância do centro até o ponto B também é $\sqrt{10}$.

Então:

$d_{AC} = \sqrt{(x_C-x_A)^2+(y_C-y_A)^2} =\sqrt{10} \\\\d_{AC} = \sqrt{(a-(-1))^2+(b-0)^2} = \sqrt{10} \\\\d_{AC} = \sqrt{(a+1)^2+b^2} =\sqrt{10}$

Elevando essa última equação ao quadrado, temos:

$(a+1)^2+b^2=10$     ( I )

Temos também:

$d_{BC} = \sqrt{(x_C-x_B)^2+(y_C-y_B)^2} =\sqrt{10} \\\\d_{BC} = \sqrt{(a-1)^2+(b-0)^2} = \sqrt{10} \\\\d_{AC} = \sqrt{(a-1)^2+b^2} =\sqrt{10}$

Elevando essa última equação ao quadrado, temos:

$(a-1)^2+b^2=10$     ( II )

Como as duas equações ( I ) e ( II ) são iguais, podemos igualá-las:

$(a+1)^2+b^2= (a-1)^2+b^2$

Cortando $b^2$, temos:

$(a+1)^2=(a-1)^2$

Note que o quadrado de a + 1 é igual ao quadrado de a - 1. Então temos duas possibilidades:

$1^{o}) a+1=a-1\\\\a-a=-1-1\\\\0=-2$

Essa possibilidade gerou um absurdo ( 0 = - 2). Então ela não é válida.

$2^{o}) a+1= -(a-1)\\\\a+1=-a+1\\\\a+a=1-1\\\\2a=0\\\\a=\frac{0}{2} =0$

Então, o único valor possível de a é 0.

Substituindo a = 0 na equação ( I ), temos:

$(0+1)^2+b^2=10\\\\1^2+b^2=10\\\\1+b^2=10\\\\b^2=10-1\\\\b^2=9\\\\b=\pm\sqrt{9} \\\\b=\pm3$

Então, para temos duas possibilidades para o centro:

$C_1=(0,-3)$     ou      $C_2=(0,3)$

A equação da circunferência de centro C(a,b) e raio r é dada por:

$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$

Para a equação de centro $C_1=(0,-3)$, temos:

$(x-0)^2+(y-(-3))^2=(\sqrt{10} )^2\\\\x^2+(y+3)^2=10\\\\x^2+y^2+6y+9-10=0\\\\x^2+y^2+6y-1=0$

Para a equação de centro $C_2=(0,3)$  temos:

$(x-0)^2+(y-3)^2=(\sqrt{10} )^2\\\\x^2+(y-3)^2=10\\\\x^2+y^2-6y+9-10=0\\\\x^2+y^2-6y-1=0$

Então, existem duas circunferências nas condições pedidas.

Veja figura abaixo.