Question

Determinar a eq. da circuferência.
Sendo "P", o centro do ponto médio e do segmento OM
"M", o ponto médio do segmento AB
y(A)=6
x(B)=6

Answer 1

Vamos lá.

Samuel, fomos lá no link e vimos o "desenho" da sua questão.
Bem, lá temos que: o ponto P(x; y) é ponto médio do segmento OM.
Por sua vez, o ponto M é ponto médio do segmento AB, em que os pontos A e B têm as seguintes coordenadas:

A(0; 6) e B(6; 0).
Assim, fica bem fácil encontrar qual é o ponto M, já que ele é o ponto médio de AB. Assim, teremos que o ponto M terá as seguintes coordenadas:

M(3; 3), pois: a abscissa de M será dada por: (0+6)/2 = 3; e a ordenada de M será dada por: (6+0)/2 = 3. Por isso o ponto M tem as coordenadas acima, ou seja: M(3; 3).

Agora note: se o ponto P(x; y) é ponto médio do segmento OM, então se temos que os pontos: O(0; 0) e M(3; 3), vê-se que o ponto P, que é ponto médio será dado por: P(3/2; 3/2), pois a abscissa e a ordenada do ponto P serão encontradas assim: (0+3)/2 = 3/2; e (0+3)/2 = 3/2. Logo o ponto P será: P(3/2; 3/2) <---- Então este é o centro da circunferência. Agora vamos calcular o raio. Para isso, basta que calculemos a distância (d) entre o ponto P(3/2; 3/2) ao ponto M(3; 3).
Assim, essa distância é igual ao raio, então:

r² = (3 - 3/2)² + (3 - 3/2)² ----- note que 3 - 3/2 = (2*3 - 1*3)/2 = (6-3)/2 = 3/2. Assim:

r² = (3/2)² + (3/2)²
r² = (9/4) + (9/4)
r² = (9+9)/4
r² = 18/4  ------ dividindo-se numerador e denominador por "2", ficaremos apenas com:

r² = 9/2 <----Este é o valor do raio ao quadrado.

Agora que já temos o centro da circunferência, que é P(3/2; 3/2) e temos o raio ao quadrado que é r² = 9/2, vamos encontrar a equação reduzida da circunferência da sua questão.
Antes veja que uma circunferência que tenha centro em C(xo; yo) e raio = r, ela terá a seguinte equação reduzida:

(x-xo)² + (y-yo)² = r²    . (I)

Tendo, portanto, a expressão acima como parâmetro, então a equação reduzida da circunferência da sua questão, que tem centro em P(3/2; 3/2) e raio ao quadrado igual a "9/2" (r² = 9/2), terá a seguinte equação reduzida:

(x-3/2)² + (y-3/2)² = 9/2 <--- Veja: faça a comparação com a expressão (I) acima e note que a equação reduzida da circunferência da sua questão é realmente a que demos aí em cima.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

Ok?
Adjemir.