Question

determinar a e b de modo que o polinomio p (x)=x^4+x^2+bx+a seja divisível por x-2, mas quando dividido por x+2 deixe o resto 4

Answer 1

A raiz de (x-2) é 2, pois 2-2 = 0

Assim, substituímos 2 no polinômio p, e esse resultado deve ser zero porque p é divisível por (x-2). Assim:

p(2) = 0 => 16 + 4 + 2b + a = 0 => 2b + a = -20 (Equação 1)

A raiz de (x+2) é -2, pois -2+2=0.

Substituímos agora o valor -2 no polinômio p, e esse resultado deve ser 4 pois o enunciado diz que a divisão de p por (x+2) deixa resto 4. Dessa maneira:

p(-2) = 4 => 16 + 4 -2b + a = 4 => -2b + a = -16 (Equação 2)

Somando membro a membro as equações, obtemos:

2a = -36 => a = -18

Substituindo a em qualquer uma das outras duas equações, obtemos b:

-2b + a = -16

-2b -18 = -16

-2b = 2

b = -1

Portanto:

a= -18

b = -1

Answer 2

Os valores de a e b são -18 e -1, respectivamente.

Divisão de polinômios

Pelo teorema de D'Alembert, podemos dizer que o resto da divisão de um polinômio P(x) por um binômio (x - a) será dada por P(a).

Portanto, teremos do enunciado que:

• O polinômio p(x) deve ser divisível pelo monômio x - 2, logo, p(2) = 0:

p(2) = 2⁴ + 2² + 2b + a

16 + 4 + 2b + a = 0

a + 2b = -20

• O polinômio p(x) deve deixar resto 4 quando dividido pelo monômio x + 2, logo, p(-2) = 4:

p(-2) = (-2)⁴ + (-2)² - 2b + a

16 + 4 - 2b + a = 4

a - 2b = -16

Somando as equações, teremos:

2a = -36

a = -18

Portanto:

-18 + 2b = -20

2b = -2

b = -1

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