Question

Determinar a distância do ponto P(2, 5) a reta r: 4x -3y +12 = 0

Answer 1

Com o cálculo realizado concluímos que a distância entre um ponto e uma reta é de $\large \boldsymbol{ \textstyle \sf d(P, r) = 1}$.

Um ponto $\boldsymbol{ \textstyle \sf P(x_P, y_P) }$ e uma reta r de equação $\boldsymbol{ \textstyle \sf ax +bx + c = 0 }$, chegamos a uma fórmula que facilita o cálculo da distância de P e r:

$\large \boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \sf \text { \sf d = \dfrac{ \mid ax_P +by_P + c \mid }{\sqrt{a^2 + b^2} } }}}$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\large \displaystyle \sf \begin{cases} \sf \sf d = \:?\: \\ \sf P(2,5) \\ \sf r: 4x-3y +12 = 0 \end{cases}$

Identificando os coeficientes:

$\large \displaystyle \sf \begin{cases} \sf x_p = 2 \\ \sf y_p = 5 \\ \sf a = 4 \\ \sf b = -3 \\ \sf c = 12 \end{cases}$

Aplicando a fórmula da distância entre um ponto e uma reta:

$\large \displaystyle \sf \text { \sf d(P, r) = \dfrac{ \mid ax_P +by_P + c \mid }{\sqrt{a^2 + b^2} } }$

$\large \displaystyle \sf \text { \sf d(P, r) = \dfrac{ \mid 4 \cdot 2 -3 \cdot 5 + 12 \mid }{\sqrt{4^2 + (-3)^2} } }$

$\large \displaystyle \sf \text { \sf d(P, r) = \dfrac{ \mid 8 - 15 + 12 \mid }{\sqrt{16 + 9} } }$

$\large \displaystyle \sf \text { \sf d(P, r) = \dfrac{ \mid-7 + 12 \mid }{\sqrt{25} } }$

$\large \displaystyle \sf \sf d(P, r) = \dfrac{ \mid 5 \mid }{5}$

$\large \displaystyle \sf \sf d(P, r) = \dfrac{ 5 }{5}$

$\large \boxed{ \boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \sf d(P, r) = 1 }} }$

Logo, a distância entre o ponto e a reta é de 1 unidade.

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