Question

Determinar a derivada primeira da função:
$f(x)= (3x^(2)-x+2)/(4x^(2)+5)$

Answer 1

Olá, bom dia.

Devemos calcular a derivada da seguinte função racional: $f(x)=\dfrac{3x^2-x+2}{4x^2+5}$.

Diferenciando ambos os lados da igualdade em respeito a variável $x$, temos:

$(f(x))'=\left(\dfrac{3x^2-x+2}{4x^2+5}\right)'$

Para calcular esta derivada, lembre-se que:

• A derivada de uma função racional é calculada pela regra do quociente: $\left(\dfrac{g(x)}{h(x)}\right)'=\dfrac{g'(x)\cdot h(x)-g(x)\cdot h'(x)}{(h(x))^2},~h(x)\neq0$.
• A derivada é um operador linear, logo vale que $(g(x)\pm h(x))'=g'(x)\pm h'(x)$ e $(c\cdot g(x))'=c\cdot g'(x)$.
• A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.
• A derivada de uma constante é igual a zero.

Aplique a regra do quociente

$f'(x)=\dfrac{(3x^2-x+2)'\cdot(4x^2+5)-(3x^2-x+2)\cdot(4x^2+5)'}{(4x^2+5)^2}$

Aplique a linearidade

$f'(x)=\dfrac{[(3x^2)'-(x)'+(2)']\cdot(4x^2+5)-(3x^2-x+2)\cdot[(4x^2)'+(5)']}{(4x^2+5)^2}\\\\\\ f'(x)=\dfrac{[3\cdot(x^2)'-(x^1)'+(2)']\cdot(4x^2+5)-(3x^2-x+2)\cdot[4\cdot(x^2)'+(5)']}{(4x^2+5)^2}$

Calcule a derivada das potências e constantes

$f'(x)=\dfrac{[3\cdot2\cdot x^{2-1}-1\cdot x^{1-1}+0]\cdot(4x^2+5)-(3x^2-x+2)\cdot[4\cdot2\cdot x^{2-1}+0]}{(4x^2+5)^2}\\\\\\ f'(x)=\dfrac{[6x-1]\cdot(4x^2+5)-(3x^2-x+2)\cdot8x}{(4x^2+5)^2}$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação e some os termos semelhantes

$f'(x)=\dfrac{24x^2+30x-4x^2-5-24x^2+8x^2-16x}{(4x^2+5)^2}\\\\\\ f'(x)=\dfrac{4x^2+14x-5}{(4x^2+5)^2}$

Esta é a derivada desta função.