Question

Determinar a derivada das funções no anexo

Answer 1

Temos as seguintes funções:

$\sf a) \: f(x) = x.(x {}^{2} + 1) \\ \\ \sf b) \sf \: \frac{dy}{dt} \: \: sendo \: \: t = 3 \\ \sf y = (t {}^{2} + 1).(t + 9) \\ \\ \sf c) \: f(x) = \frac{x}{x - 2} \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf d) \: \frac{dg}{dg} \: \: sendo \: \: t = - 2 \\ \sf g (t)= \frac{t {}^{2} + 1 }{t {}^{2} - 1} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Para resolver essas derivadas, devemos lembrar de algumas regras, são elas regra do produto, regra do quociente e regra da potência.

• Regra do produto:

Quando tem-se o produto de duas funções, para encontrar a derivada, basta usar a seguinte relação:

$\boxed{ \sf \frac{d}{dx} [f(x).g(x)] = \frac{d}{dx} [f(x)].g(x) + f(x). \frac{d}{dx} [g(x)]}$

• Regra da potência:

Essa regra é dada pela transferência do expoente para a função de coeficiente e a subtração desse expoente por 1, para um melhor entendimento basta observar a sua relação:

$\boxed{ \sf \frac{d}{dx} x {}^{n} = n.x {}^{n - 1}}$

• Regra do quociente:

Muito parecido com a regra do produto, essa relação é dada quando tem-se a divisão de funções, sendo dada pela seguinte relação:

$\boxed{\sf \frac{d}{dx} \left[ \frac{f(x)}{g(x)} \right] = \frac{ \frac{d}{dx} [ f(x ) ] .g(x) - f(x). \frac{d}{dx}[g(x)]}{[g(x)] {}^{2} } }$

Sabendo dessas regras, vamos partir para os cálculos de fato.

$\sf a) \: f(x) = x.(x {}^{2} + 1)$

Temos o produto de duas funções, então vamos aplicar a primeira regra citada:

$\sf \frac{d}{dx} [f(x)] = \frac{d}{dx} x.(x {}^{2} + 1) + x. \frac{d}{dx} ( {x}^{2} + 1) \\ \\ \sf \frac{d}{dx} [f(x)] = 1.(x {}^{2} + 1) + x.(2x + 0) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \frac{d}{dx} [f(x)] = (x {}^{2} + 1) + 2x {}^{2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \boxed{\sf \frac{d}{dx} [f(x)] = 3x {}^{2} + 1}$

$\sf b) \: y = (t {}^{2} + 1)(t + 9)$

Aqui do mesmo jeito, temos um produto de funções, então aplicaremos a mesma regra, ao final da derivação temos que substituir o valor de "t" informado na questão.

$\sf \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dx} (t {}^{2} + 1).(t + 9) + (t {}^{2} + 1) .\frac{d}{dx} (t + 9) \\ \\ \sf \frac{dy}{dt} = 2t.(t + 9) + (t {}^{2} + 1).1 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \frac{dy}{dt} = 2t {}^{2} + 18t + t {}^{2} + 1 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \boxed{ \sf \frac{dy}{dt} = 3t {}^{2} + 18t + 1 }\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Substituindo o valor de "t", ou seja 3:

$\sf \frac{dy}{dt} = 3t {}^{2} + 18t + 1 \: \: \: \\ \\ \sf \frac{dy}{dt} = 3.3 {}^{2} + 18.3 + 1 \\ \\ \sf \frac{dy}{dt} = 27 + 54 + 1 \: \: \: \: \: \: \\ \\ \boxed{\sf \frac{dy}{dt} = 82}$

$\sf c) \: f(x) = \frac{x }{x - 2}$

Como pode ser observado, temos a divisão de duas funções, então aplicaremos a terceira regra:

$\sf \frac{d}{dx} \left[ \frac{f(x)}{g(x)} \right] = \frac{ \frac{d}{dx} x .(x - 2)- x. \frac{d}{dx}(x - 2)}{(x - 2){}^{2} } \\ \\ \sf \frac{d}{dx} \left[ \frac{f(x)}{g(x)} \right] = \frac{1.(x - 2) - x.(1)}{(x - 2) {}^{2} } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \frac{d}{dx} \left[ \frac{f(x)}{g(x)} \right] = \frac{x - 2 - x}{(x - 2) {}^{2} } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \boxed{ \sf \frac{d}{dx} \left[ \frac{f(x)}{g(x)} \right] = \frac{ - 2}{(x - 2) {}^{2} } }$

$\sf d) \: g(t) = \frac{t {}^{2} + 1 }{t {}^{2} - 1}$

Mais uma vez vamos usar a regra do quociente:

$\sf \sf \frac{d}{dt} \left[ \frac{f(x)}{g(x)} \right] = \frac{ \frac{d}{dx} (t {}^{2} + 1).(t {}^{2} - 1) - (t {}^{2} + 1). \frac{d}{dx}(t {}^{2} - 1) }{(t {}^{2} - 1) {}^{2} } \\ \\ \sf \sf \frac{d}{dt} \left[ \frac{f(x)}{g(x)} \right] = \frac{2t.(t {}^{2} - 1) - (t {}^{2} + 1).(2t)}{(t {}^{2} - 1) {}^{2} } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \frac{d}{dt} \left[ \frac{f(x)}{g(x)} \right] = \frac{2t {}^{3} - 2t - (2t {}^{3} + 2t)}{(t {}^{2} - 1) {}^{2} } \\ \\ \sf \frac{d}{dt} \left[ \frac{f(x)}{g(x)} \right] = \frac{2t {}^{3} - 2t - 2t {}^{3} - 2t}{(t {}^{2} - 1) {}^{2} } \\ \\ \boxed{\sf \sf \frac{d}{dt} \left[ \frac{f(x)}{g(x)} \right] = \frac{ - 4t}{(t {}^{2} - 1) {}^{2} } }$

Substituindo o valor de "t", ou seja -2:

$\sf \frac{ - 4t}{(t {}^{2} - 1) {}^{2} } = \frac{ - 4.( - 2)}{(( - 2) {}^{2} - 1) {}^{2} } = \frac{8}{(4 - 1) {}^{2} } = \frac{8}{3 {}^{2} } = \boxed{ \sf\frac{8}{9} }$

Espero ter ajudado