Question

Determinar a, de modo que o ângulo  do triângulo ABC, seja 60°. Dados: A(1,0,2), B(3,1,3) e C(a+1,–2,3).

Answer 1

Boa noite


Fórmulas usadas:

$\vec a = a_1\vec i + a_2\vec j + a_3\vec k\\ \vec{b}=b_1\vec i + b_2\vec j + b_3\vec k\\ \\ \boxed{\boxed{\vec a\cdot\vec b = a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3}}$

$\boxed{\boxed{\vec v = a\vec i + b\vec j + c\vec k\ \ \Rightarrow\ \ \|\vec v\| = \sqrt{a^2+b^2+c^2}}}$

$\boxed{\boxed{\vec a\cdot \vec b=\|\vec a\| \ \|\vec b\| \ \cos(\vec a,\vec b ) }}$



Tomemos o ponto A e consideremos os vetores AB e AC. Assim:

$\vec{AB} = \vec{OB}-\vec{OA}\\ \\ \vec{AB} = (3\vec i +\vec j + 3\vec k)-(\vec i +2\vec k)\\ \\ \boxed{\vec{AB} = 2\vec i + \vec j + \vec k}$


$\vec{AC} = \vec{OC}-\vec{OA}\\ \\ \vec{AC} = [(a+1)\vec i +-2\vec j + 3\vec k] - (\vec i + 2\vec k)\\ \\ \boxed{\vec{AC}=a\vec i -2\vec j+\vec k}$


Temos o ângulo formado entre os vetores e queremos calcular a. Lembre-se, porém, que podemos relacionar as coordenadas com o ângulo usando o produto interno. Então peguemos o produto interno de AB com AC:

$\vec{AB}\cdot\vec{AC} = \|\vec{AB}\|\vec{AC}\|\cos({\vec{AB},\vec{AC})}$

$2a + 1(-2) + 1 (1) = \sqrt{2^2+1^2+1^2}\sqrt{a^2+(-2)^2+1^2} \cos(60^\circ)\\ \\ 2a-2+1 = \sqrt{6}\ \sqrt{a^2+5}\ \dfrac{1}{2}\\ \\ \star \ \ \ 4a-2 = \sqrt{6a^2+30}\\ \\ 16a^2 - 16a + 4 = 6a^2 + 30\\ \\ 10a^2-16a-26=0\\ \\ 5a^2 -8a-13=0$

$\Delta = 64 +260\\ \Delta = 324\to \sqrt\Delta = 18\\ \\ a = \dfrac{8\pm18}{10}\\ \\ \\ a' = \dfrac{13}{5}\ \ \ \ \ \ a'' = -1$

Agora observe a equação estrela. Devemos ter 4a - 2 ≥ 0, a ≥ 1/2, e por isso a solução a = -1 não serve. Por isso:

$\boxed{a=\dfrac{13}{5}}$

Answer 2

Boa noite And

AB = (2, 1, 1),   ||AB|| = √(2² + 1² + 1²) = √6
AC = (a, -2, 1), ||AC|| = √(a² + 2² + 1²) = √(a² + 5)

AB . AC = ||AB|| . ||AC|| * cos(60) 

(2, 1, 1) . (a, -2, 1) = √(6a² + 30) * cos(60)

2a - 2 + 1 = √(6a² + 30)/2
2a - 1 = √(6a² + 30)/2

4a - 2 = √(6a² + 30)
16a² - 16a + 4 = 6a² + 30

10a² - 16a - 26 = 0
5a² - 8a - 13 = 0

delta
d² = 64 + 260 = 324
d = 18

a1 = (8 + 18)/10 = 13/5
a2 = (8 - 18)/10 = -1

C(a+1, -2, 3) = C(18/5, -2, 3)
C(a+1, -2,3) = C(0, -2, 3)