Question

Determinar a área da região limitada pelas curvas y = x^{3} e y = 4x no 1º Quadrante.

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{4~u.a}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para encontrarmos a área da região limitada pelas curvas $y=x^3$ e $y=4x$ no primeiro quadrante, devemos relembrar algumas propriedades sobre Área entre duas curvas.

Sabemos que a integral de uma função nos dá a área sob a curva desta função, dentro dos limites de integração. Por isso, considera-se a área entre duas curvas como:

$\displaystyle{\int_a^bf(x)-g(x)\,dx}$, de forma que durante todo o intervalo $[a , ~b]$, que são os pontos de intersecção das duas curvas, $g(x)<f(x)$.

Primeiro, encontremos as intersecções igualando as funções

$x^3=4x$

Passe todos os termos da direita da equação para a esquerda, alterando seu sinal:

$x^3-4x=0$

Fatore $x$

$x\cdot(x^2-4)=0$

Para que um produto seja igual a zero, ao menos um de seus fatores é igual a zero, logo:

$x=0$ ou $x^2-4=0$

Na segunda equação, some 4 em ambos os lados da equação

$x^2=4$

Retire a raiz em ambos os lados da equação

$x=\pm~\sqrt{4}$

Logo,

$x=\pm~2$, então as soluções são

$x=-2,~x=2~ou~x=0$

Como a questão nos pede a área limitada entre as funções no primeiro quadrante, devemos integrar somente nos limites pertencentes a este quadrante.

Observe a imagem: No intervalo $[0,~2]$, $x^3<4x$. Isto significa que integraremos

$\displaystyle{\int_0^2 4x-x^3\,dx}$

Sabemos que a integral de uma potência é dada por $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$, logo:

$\displaystyle{\int_0^2 4x-x^3\,dx}=4\cdot\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^4}{4}~\biggr|_0^2$

Multiplique os valores e substitua os limites de integração, lembrando que o Teorema fundamental do cálculo nos diz que: $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)$, na qual $F(x)$ é a primitiva da função $f(x)$ e $\dfrac{d}{dx}(F(x))=f(x)$.

$2x^2-\dfrac{x^4}{4}~\biggr|_0^2\\\\\\ 2\cdot2^2 - \dfrac{2^4}{4}$

Calcule as potências

$2\cdot 4-\dfrac{16}{4}$

Multiplique o valor e simplifique a fração

$8-4$

Some os valores

$4$

Esta é a área limitada pelas curvas no 1º quadrante.

Answer 2

$\displaystyle\sf{A_R\int_{0}^{2}(4x-x^3)~dx}\\\sf{A_R=2x^2-\dfrac{1}{4}x^4\Bigg|_{0}^{2}}\\\sf{A_R=8-4=4~u\cdot a}$