Question

determinar a área da região limitada pelas curvas y= √2x e y= x no primeiro quadrante.

Answer 1

Acertando os extremos de integração e a região determinada curvas f(x) e g(x). Em qual ponto que f(x) e g(x) se interceptam? No ponto C(2,2), veja por que: f(2) = 2 e g(x) = √2*2 = √4 = 2. Verificando intersecção:
x = √2x ⇔ x² = 2x ⇔ x² - 2x = 0 ⇔ x(x -2) = 0 ⇔ x = 0 ou x = 2
Logo f(x) e g(x) se interceptam em x = 0 e x = 2 
Nessas condições já temos nossa região de integração e os respectivo extremos bem definidos que são 0 e 2.
Segue um anexo para ver geometricamente esse fato, mas √2x > x então, a integral será ∫g(x) - f(x) dx |[0,2]
Calculando a Área procurada entre as curvas:
∫g(x) - f(x) dx |[0,2] = ∫[(√2x) - x ]dx |[0,2] = ∫√2x dx |[0,2] - ∫x dx |[0,2] =
■ ∫√2x dx ⇒ u = 2x ⇒ du = 2 dx ⇔ du/2 = dx
∫√u du/2 = 1/2 ∫ √u du =1/2[ u^(1/2 + 1) / (1/2 +1)] = 1/2[u^(3/2)/3/2] =
= 1/3 u^(3/2) = 1/3 (√2³) x^(3/2) = 2/3 x^(3/2) 
∴ ∫√2x dx|[0,2] =  2/3 x^(3/2)|[0,2] = 2/3 * 2^(3/2) =  = 0,666 * 1,414 * 2,828 =  2,663 u.a.   ■ ∫x dx |[0,2] = x²/2|[0,2] = 1/2 * 4 = 2 u.a.

▓ Conclusão:  
∫g(x) - f(x) dx |[0,2] = ∫[(√2x) - x ]dx |[0,2] = 2,663 - 2 = 0,663 u.a.