Question

Determinar a área da região limitada pelas curvas $y=\sqrt{2x}$ e y = x no 1º Quadrante.

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{\dfrac{2}{3}~u.a}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para calcularmos a área delimitada pelas curvas $y=\sqrt{2x}$ e $y=x$ no primeiro quadrante, devemos relembrar algumas propriedades para área entre curvas.

Sejam as funções $f(x)$ e $g(x)$ contínuas no intervalo $[a,~b]$, tal que $a$ e $b$ são os pontos de intersecção das funções, a área entre as curvas será:

$\displaystyle{\int_a^bf(x)-g(x)\,dx}$, caso se mostre que em todo o intervalo $[a,~b]$, $g(x)<f(x)$.

Então, igualemos as funções para encontrar seus pontos de intersecção

$\sqrt{2x}=x$

Eleve ambos os lados ao quadrado

$2x=x^2$

Como foi pedido a área entre as curvas no 1º quadrante, não devemos nos preocupar em retirar o radicando em módulo, visto que seus valores sempre serão positivos.

Isole $x$

$x^2-2x=0$

Fatore

$x\cdot(x-2)=0$

O produto de dois fatores é igual a zero se ao menos um de seus fatores for igual a zero, logo

$x=0$ ou $x-2=0$

Some 2 em ambos os lados da segunda equação

$x=2$

Então os pontos de intersecção são $(0,~0)$ e $(2,~2)$. Isto significa que integraremos no intervalo $[0,~2]$. Perceba que este intervalo já está contido no 1º quadrante, então apenas devemos integrar normalmente.

Observe a imagem: A função $y=\sqrt{2x}$ tem imagem maior que a função $y=x$ neste intervalo, logo nossa área será calculada pela integral

$\displaystyle{\int_0^2 \sqrt{2x}-x\,dx}$

Separemos a integral da diferença de funções como a diferença da integral dessas funções, de acordo com a  propriedade: $\displaystyle{\int f(x)\pm g(x)\,dx=\int f(x)\,dx \pm\int g(x)\,dx}$

$\displaystyle{\int_0^2 \sqrt{2x}\,dx -\int_0^2 x\,dx}$

Para resolvermos a primeira integral, podemos utilizar vários métodos. Considere que $\sqrt{2x}=\sqrt{2}\cdot\sqrt{x}$, então a partir da propriedade $\displaystyle{\int a\cdot f(x)\,dx=a\cdot\int f(x)\,dx}$, temos:

$\displaystyle{\sqrt{2}\cdot \int_0^2 \sqrt{x}\,dx -\int_0^2 x\,dx}$

Então aplique a propriedade da integral de uma potência, dada por $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$, sabendo que $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}}$, para resolver ambas as integrais

$\displaystyle{\sqrt{2}\cdot \dfrac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\left(\dfrac{1}{2}+1\right)} -\dfrac{x^2}{2}~\biggr|_0^2$

Some os valores

$\displaystyle{\sqrt{2}\cdot \dfrac{x^{\frac{3}{2}}}{\left(\dfrac{3}{2}\right)} -\dfrac{x^2}{2}~\biggr|_0^2$

Simplifique a fração

$\displaystyle{\sqrt{2}\cdot \dfrac{2x^{\frac{3}{2}}}{3} -\dfrac{x^2}{2}~\biggr|_0^2$

Então, substitua os limites de integração, pois de acordo com o Teorema fundamental do cálculo, $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx = F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)}$, tal que $F(x)$ é a primitiva da função $f(x)$ e $\dfrac{d}{dx}(F(x))=f(x)$.

$\displaystyle{\sqrt{2}\cdot \dfrac{2\sqrt{2^3}}{3} -\dfrac{2^2}{2}-\left(\dfrac{\sqrt{2}\cdot\dfrac{2\cdot\sqrt{0^3}}{3}-\dfrac{0^2}{2}\right)}$

Sabendo que $\sqrt{x^3}=x\cdot\sqrt{x},~\forall x\geq0$, calcule as potências e raizes

$\displaystyle{\sqrt{2}\cdot \dfrac{4\sqrt{2}}{3} -\dfrac{4}{2}$

Multiplique os valores e simplifique as frações

$\dfrac{8}{3}-2$

Some as frações

$\dfrac{2}{3}$

Esta é a área delimitada por estas curvas.

Answer 2

$\displaystyle\sf{A_R=\int_{0}^{2}(\sqrt{2x}-x)~dx}\\\sf{\dfrac{2\sqrt{2}}{3}x^{\frac{3}{2}}-\dfrac{1}{2}x^2\Bigg|_{0}^{2}}$

$\displaystyle\sf{A_R=\int_{0}^{2}(\sqrt{2x}-x)~dx}\\\sf{\dfrac{2\sqrt{2}}{3}x^{\frac{3}{2}}-\dfrac{1}{2}x^2\Bigg|_{0}^{2}}\\\sf{ \frac{8}{3} - \frac{4}{2} = \frac{16 - 12}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3} }$