Question

DETERMINANTES MAT---só responda se souber

1)Dada a matriz A= $\left[\begin{array}{ccc}1&2&a\\3&2&2\\0&1&1\end{array}\right]$ , calcule a para que A seja invertivel..

>>Lembre-se : A é invertivel se det A ≠ 0

2) As matrizes A e B tem ordem 3. Se det A = 4 e det B = 10, determine
a) det (AxB)
b) det $B^{2}$
c) det $A^{-1}$
d) det (10A)
e)det (B)
det (2 vezes $A^{t}$ vezes $B^{-1}$

Answer 1

1) A questão nos fornece a seguinte matriz quadrada A:

$\sf A=\left[\begin{array}{ccc}\sf 1&\sf 2&\sf a\\ \sf 3&\sf 2&\sf 2\\ \sf 0&\sf 1&\sf 1\end{array}\right]$

Destarte, ela pretende encontrar todos os valores de a que tornam a matriz A invertível. Para isso, é preciso relembrar que uma matriz qualquer M, quadrada e de ordem n ≥ 1, é invertível ou inversível se, e só se, o seu determinante D for diferente de 0 (zero). Melhor dizendo, a matriz genérica M de entradas (elementos) reais arbitrárias, dada por

$\sf M=\left[\begin{array}{ccc}\sf a_{11}&\sf a_{12}&\sf a_{13}\\ \sf a_{21}&\sf a_{22}&\sf a_{23}\\ \sf a_{31}&\sf a_{32}&\sf a_{33}\end{array}\right]$

, é invertível caso o seu determinante D — obtido a partir da Regra de Sarrus — seja nulo, isto é, apenas quando:

$\underbrace{\sf a_{11}\ \!a_{22}\ \!a_{33}+a_{12}\ \!a_{23}\ \!a_{31}+a_{13}\ \!a_{21}\ \!a_{32}-a_{31}\ \!a_{22}\ \!a_{13}-a_{32}\ \!a_{23}\ \!a_{11}-a_{33}\ \!a_{21}\ \!a_{12}}_{\sf D}\,\neq\,0$

Com base no resultado adquirido logo acima, temos que A é invertível se, e somente se:

$\sf\qquad\quad\: \, 2+0+3a-0-2-6\neq0\\\\ \iff\ \ \ 3a-6\neq0\\\\ \iff\ \ \ 3a\neq6\\\\ \iff\ \ \ a\neq\dfrac{6}{3}\\\\ \iff\ \ \ \!\boxed{\sf a\neq 2}$

Resposta: a matriz A é invertível para a ≠ 2.

2) Para resolver esta, é imprescindível ter conhecimento de algumas das famosas propriedades dos determinantes, que são elas:

1. O determinante do produto de duas matrizes quadradas A e B, de mesma ordem, é o produto de seus determinantes. Esta notável propriedade, mais conhecida como Teorema de Binet, nos mostra que o determinante é multiplicativo; ou seja, para as matrizes A e B é válido escrever:

$\large\begin{array}{l}\sf det(A\cdot B)=det(A)\cdot det(B)\end{array}$

2. O determinante da inversa de uma matriz não singular A (não singular = inversível) é o recíproco (inverso multiplicativo) do determinante desta matriz. Mais precisamente:

$\large\begin{array}{l}\sf det\big(A^{-1}\big)=\dfrac{1}{det(A)}\end{array}$

3. Caso uma matriz quadrada A de ordem n seja multiplicada por um escalar real k (número real arbitrário), seu determinante ficará multiplicado por kⁿ. Isto significa que ao efetuarmos o produto de A por k, encontraremos a matriz kA, cujo determinante é:

$\large\begin{array}{l}\sf det(kA)=k^n\cdot det(A)\end{array}$

4. O determinante de uma matriz A é igual ao determinante de sua transposta. Este resultado, em linguagem matemática, é expresso por:

$\large\begin{array}{l}\sf det(A)=det(A^t)\end{array}$

Em seguida, fazendo uso de todas as propriedades listadas acima e das informações contidas no enunciado, obtém-se:

➯ Letra a)

$\sf {\qquad\quad\ \, det(A\cdot B)=det(A)\cdot det(B)}\\\\ {\implies\ \ \ det(A\cdot B)=4\cdot 10}\\\\ {\!\iff\ \ \ det(A\cdot B)=40}$

Resposta:

$\large\boxed{\sf det(A\cdot B)=40}$

➯ Letra b)

${\sf\qquad\quad\ \: det\!\left(B^2\right)=det(B\cdot B)}\\\\ {\sf \iff\ \ \ \: \!\!det\!\left(B^2\right)=det(B)\cdot det(B)}\\\\ {\sf \,\implies\ \ \ det\left(B^2\right)=10\cdot 10}\\\\ {\sf \iff\ \ \ det\!\left(B^2\right)=100}$

Resposta:

$\large\boxed{\sf det\!\left(B^2\right)=100}$

➯ Letra c)

${\qquad\quad\ \,\sf det\!\left(A^{-1}\right)=\dfrac{1}{det(A)}}\\\\\\ {\sf \implies\ \ \ det\!\left(A^{-1}\right)=\dfrac{1}{4}}$

Resposta:

$\large\boxed{\sf det\!\left(A^{-1}\right)=\dfrac{1}{4}}$

➯ Letra d)

${\qquad\quad\ \ \! \sf det(10\:\!A)=10^3\cdot det(A)}\\\\ {\sf \implies\ \ \ det(10\:\!A)=1000\cdot 4}\\\\ {\sf \!\iff\ \ \ det(10\:\!A)=4000}$

Resposta:

$\large\boxed{\sf det(10\:\!A)=4000}$

➯ Letra e)

Resposta:

$\large\boxed{\sf det(B)=10}$

➯ Letra f)

${\sf\qquad\quad\ \,det\!\left(2\:\!A^t\:\!B^{-1}\right)=det\big[(2\:\!A^t)\cdot B^{-1}\big]}\\\\ {\sf\!\iff\ \ \ det\!\left(2\:\!A^t\:\!B^{-1}\right)=det(2\:\!A^t)\cdot det\!\left(B^{-1}\right)}\\\\ {\sf\implies\ \ \ det\!\left(2\:\!A^t\:\!B^{-1}\right)=2^3\cdot det(A^t)\cdot det\!\left(B^{-1}\right)}\\\\ {\sf\!\iff\ \ \ det\!\left(2\:\!A^t\:\!B^{-1}\right)=8\cdot det(A)\cdot \dfrac{1}{det(B)}}$

$\sf \!\!\!\!\implies\ \ \ det\!\left(2\:\!A^t\:\!B^{-1}\right)=8\cdot 4\cdot \dfrac{1}{10}\\\\\\ {\sf\!\!\!\iff\ \ \ \:\!\!det\!\left(2\:\!A^t\:\!B^{-1}\right)=\dfrac{32}{10}}\\\\\\ {\sf\!\!\!\iff\ \ \ det\!\left(2\:\!A^t\:\!B^{-1}\right)=\dfrac{16}{5}}$

Resposta:

$\large\boxed{\sf det\!\left(2\:\!A^t\:\!B^{-1}\right)=\dfrac{16}{5}}$

Obs.: todas as matrizes mencionadas nesta resolução são matrizes quadradas, pois o conceito de determinante limita-se apenas a este tipo de matriz.