Question

Determinando-se o centro e o raio das circunferências x² + y² - 2y - 8 = 0 e x² + y² - 4x - 2y + 4 = 0, pode-se garantir que:
a) elas não têm ponto em comum.
b) elas são secantes.
c) elas são tangentes exteriormente.
d) elas são tangentes interiormente.

Answer 1

Temos as seguintes equações de circunferência:

$\sf \lambda : x {}^{2} + y {}^{2} - 2y - 8 = 0 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf \alpha : x {}^{2} + y {}^{2} - 4x - 2y + 4 = 0$

A primeira coisa que devemos encontrar é o centro e o raio dessas circunferência, para isso vamos usar um macete que agiliza o processo.

• 1. Primeiro você monta o esquema de uma equação reduzida de circunferência:

$\lambda : \sf (x \: \: \: \: \: \: ) {}^{2} + (y \: \: \: \: \: \: \: ) {}^{2} = \\ \alpha : \sf (x \: \: \: \: \: \: ) {}^{2} + (y \: \: \: \: \: \: \: ) {}^{2} =$

• 2. Quem possuir "x" na equação divida por 2x. Observe que na primeira equação não temos isso, ou seja, será 0/2x, na segunda equação temos o -4x, então será -4x/2x, fazendo isso:

$\lambda : \sf (x + 0 ) {}^{2} + (y \: \: \: \: \: \: \: ) {}^{2} = \\ \alpha : \sf (x - 2 ) {}^{2} + (y \: \: \: \: \: \: \: ) {}^{2} =$

• 3. Passe os números que não possuem incógnita da equação para o segundo membro, ou seja, devemos passar para o segundo membro o número -8 e +4:

$\lambda : \sf (x + 0 ) {}^{2} + (y \: \: \: \: \: \: \: ) {}^{2} = 8 \: \: \: \\\ \alpha : \sf (x - 2 ) {}^{2} + (y \: \: \: \: \: \: \: ) {}^{2} = - 4$

• 4. Faça a mesmo coisa que foi feita com o "x", só que agora é com "y" (divida os termos em "y" por 2y):

$\lambda : \sf (x + 0 ) {}^{2} + (y - 1 ) {}^{2} = 8 \: \: \: \\\ \alpha : \sf (x - 2 ) {}^{2} + (y - 1) {}^{2} = - 4$

• 5. Por fim devemos dispor os números que estão dentro do parêntese ao quadrado no outro lado da equação:

$\lambda : \sf (x + 0 ) {}^{2} + (y - 1 ) {}^{2} = 8 + 0 {}^{2} + 1 {}^{2} \: \: \: \\\ \alpha : \sf (x - 2 ) {}^{2} + (y - 1) {}^{2} = - 4 + 2 {}^{2} + 1 {}^{2} \\ \\ \sf \lambda : \sf (x + 0 ) {}^{2} + (y - 1 ) {}^{2} = 9 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\\ \alpha : \sf (x - 2 ) {}^{2} + (y - 1) {}^{2} = 1 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Pronto essas são as equações reduzidas, portanto os centros são:

$\sf ( x - a) {}^{2} + (y - b) {}^{2} = r { }^{2} \longrightarrow Centro \: (a,b)\\ \\ \sf\lambda : (x {}^{} + 0) {}^{2} + (y - 1) {}^{2} = 9 \longrightarrow Centro \: (0,1) \to r = 3 \\ \sf \alpha :(x - 2) {}^{2} + (y - 1) {}^{2} = 1 \longrightarrow Centro \:(2,1) \to r = 1$

Por fim é necessário calcular a distância entre os centros, pois a partir disso iremos saber qual a posição relativa entre as circunferências:

$\sf d_{C_1,C_2} =\sqrt{(x_{C_1}-x_{C_2})^{2}+(y_{C_1}-y_{C_2})^{2}}$

Temos os seguinte dados:

$\begin{cases} \sf C_1(0,1) \to x_{ C_1 } = 0 \: \: \: \: \: \: y_{C_1} = 1 \\ \sf C_2(2,1) \to x_{ C_2 } = 2\: \: \: \: \: \: y_{C_2} = 1 \end{cases}$

Substituindo os dados na fórmula:

$\sf d_{C_1,C_2}=\sqrt{(x_{C_1}-x_{C_2})^{2}+(y_{C_1}-y_{C_2})^{2}} \\ \sf d_{C_1,C_2} = \sqrt{(0 - 2) {}^{2} + (1 - 1) {}^{2} } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf d_{C_1,C_2} = \sqrt{4 } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf d_{C_1,C_2} = 2 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

A distância entre os centro é igual a "2", então podemos dizer que elas são circunferências tangentes interiormente:

$\sf d_{C_1,C_2} = R-r \\ \sf 2 = 3 - 1 \\ \sf 2 = 2$

Espero ter ajudado

• Resposta: Letra d)