Question

Determinando os autovalores da transformação linear de T = IR2 IR2, sendo

T (x, y) = ( x + 2y, - x + 4y) encontramos:


λ 1 = - 2 e λ 2 = 3.


λ 1 = 2 e λ 2 = 3.


λ 1 = - 2 e λ 2 = - 3.


λ 1 = 2 e λ 2 = - 3.


λ 1 = 2 e λ 2 = - 1/3.

Answer 1

Olá


Alternativa correta, λ₁=2  e  λ₂=3

Dada a transformação linear

T: R²→R²

T(x,y) = (x+2y, -x+4y)



Pode-se calcular os autovalores a partir da seguinte fórmula:

det(A - λI)


Ou seja, os autovalores pode ser calculados a parti do determinante (da matriz A - λ*matriz identidade)


A matriz identidade é a matriz que possui seu números nulos, exceto os da diagonal principal, que são compostos pelo número 1.
Formato da matriz identidade de ordem 2

$\mathsf{I= \left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\\\end{array}\right] }$


a matriz A é obtida a partir da transformação dada.


$\displaystyle\mathsf{T(x,y) = (x+2y, -x+4y)}\qquad\qquad\Longrightarrow\qquad\mathsf{A= \left[\begin{array}{ccc}1&2\\-1&4\\\end{array}\right] }$



E λ é um escalar.



Substituindo na fórmula


$\displaystyle\mathsf{det\left(\mathsf{ \left[\begin{array}{ccc}1&2\\-1&4\\\end{array}\right] ~-~\lambda \left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\\\end{array}\right] }\right)}\\\\\\\\\mathsf{det\left(\mathsf{ \left[\begin{array}{ccc}1&2\\-1&4\\\end{array}\right] ~-~\left[\begin{array}{ccc}\lambda &0\\0&\lambda \\\end{array}\right] }\right)}\\\\\\\\\mathsf{det\left(\mathsf{ \left[\begin{array}{ccc}1-\lambda&2\\-1&4\lambda\\\end{array}\right] }\right)}$


Calculando o determinante

$\mathsf{\mathsf{ \left|\begin{array}{ccc}1-\lambda&2\\-1&4\lambda\\\end{array}\right| }}$


 
$\displaystyle \mathsf{=(1-\lambda)(4-\lambda)+2}\\\\\mathsf{=4-4\lambda-\lambda+\lambda^2+2}\\\\\mathsf{=\lambda^2-5\lambda+6}$


Resultou em uma equação do 2º grau, então, basta igualar a zero e achar as raízes.


As raízes que encontradas, serão a resposta do exercício.


Resolvendo a equação por bhaskara


$\displaystyle \mathsf{\lambda^2-5\lambda+6=0}\\\\\\\mathsf{\Delta~=~(-5)^2-4\cdot1\cdot6}\\\\\mathsf{\Delta~=~1}\\\\\\\\\mathsf{\lambda~=~ \frac{-(-5)\pm \sqrt{1} }{2\cdot 1} }\\\\\\\boxed{\mathsf{\lambda_1~=~2}}\\\\\\\boxed{\mathsf{\lambda_2~=~3}}$