Question

Determinado problema pode ser modelado pela seguinte equação diferencial ordinária:
y" + 2y' - 3y = 0
Para resolver essa equação é necessário determinar qual a solução geral da equação diferencial, por meio da avaliação da equação característica associada.
Assinale a alternativa que contém as raízes da equação diferencial apresentada.​

Answer 1

Resposta:

Definimos uma função $y=e^{r.t}$ e a substituímos na equação diferencial dada pelo problema para obtermos a equação característica. Ou seja:

y" + 2y' - 3y = 0   (*)

$y=e^{r.t}$   ;   $y'=r.e^{r.t}$   ;  $y''=r^{2}.e^{r.t}$

Substituindo esses termos em (*):

$r^{2} .e^{r.t}+2.r.e^{r.t}-3.e^{r.t}=0$

$r^{2}+2.r-3=0$

Δ = b² - 4.a.c  = 2² - 4.(1).(-3) = 4 + 12 = 16

r₁ = (-b + √Δ)/2 = (-2 + 4)/2 = 1

r₂ = (-b - √Δ)/2 = (-2 - 4)/2 = -3

Solução geral da equação diferencial:

$y(x) = c_{1} .e^{r_{1}.t}+ c_{2} .e^{r_{2}.t}$  ⇒    $y(x) = c_{1} .e^{t}+ c_{2} .e^{-3.t}$

Onde c₁ e c₂ são constantes a serem determinadas quando fornecidas condições iniciais ou de contorno.