Question

Determinado poliedro convexo tem 82 arestas e possui faces com 5, 8 e 12 lados e a soma dos ângulos das faces é 256 retos. A razão das faces de 5 lados para 8 lados é 2/3. O número de faces citados é :
A) 4, 7 e 8
B) 5, 7 e 8
C)4, 6 e 9
D) 5, 6 e 8
E) 4, 6 e 8

Answer 1

Anotemos os dados:
A = 82
S = 256r

O polígono que tem 5 lados é um pentágono; o que tem 8 lados, um octógono e o que tem 12 lados, um dodecágono. Assim, representarei o número de faces de cada um por P, O e D, respectivamente. 

Utilizando a fórmula do total de arestas, temos:
2A = 5P + 8O + 12D
2(82) = 5P + 8O + 12D
164 = 5P + 8O + 12D 
5P + 8O + 12D = 164  (I)

Agora, calcularemos o número de vértices.
Aplicando a fórmula da soma dos ângulos das faces, temos:
S = (V - 2)4r
256r = (V - 2)4r
V - 2 = 256r
             4r
V - 2 = 64
V = 64 + 2
V = 66

Agora, aplicando a relação de Euler, podemos calcularmos o número total de faces.
V - A + F = 2
66 - 82 + F = 2
- 16 + F = 2
F = 2 + 16
F = 18

Então:
P + O + D = F
P + O + D = 18  (II)

Podemos construir um sistema de equações:
{5P + 8O + 12D = 164
{  P +   O +     D = 18  --- ×(-12)

{   5P  +  8O + 12D = 164
{-12P -  12O -  12D = - 216   +
  - 7P  -   4O   +  0D = - 52
                  7P + 4O = 52

Sabemos que a razão entre P e O é 2/3. Logo:
P = 2  ⇒  O = 3P
O    3              2

Substituindo o valor de O, temos:
7P + 4O = 52
7P + 4(3P) = 52
             2
7P + 6P = 52
13P = 52
    P = 52/13
    P = 4

Calculemos o valor de O, agora.
O = 3P
        2
O = 3(4)
        2
O = 6

Por fim, calculemos o valor de D.
P + O + D = 18
4 + 6 + D = 18
10 + D = 18
D = 18 - 10
D = 8

Então, o poliedro é formado por: 4 pentágonos, 6 octógonos e 8 dodecágonos.

Alternativa E.