Question

Determina as coordenadas do vetor u sabendo que a Norma de u é igual a 1 e é perpendicular ao vetor v de coordenadas (1,2)​

Answer 1

Temos as seguintes informações:

$\: \: \: \: \: \: \sf u = (x,y) \: \: \to \: \: | |u| | = 1$

Além disto, sabemos também que o vetor u é perpendicular a um vetor w = (1,2), ou seja, podemos utilizar a expressão do ângulo entre vetores, para gerar uma expressão que possamos utilizar em um sistema. A expressão do ângulo entre dois vetores é dada por:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{\sf cos( \theta) = \frac{u \: \cdot \: w}{ | |u| | \: \cdot \: | |w| | }}$

De todos os termos, o único que não temos é o módulo do vetor w, mas podemos calcular, já que possuímos o vetor em si.

$\sf | |w| | = \sqrt{1 {}^{2} + 2 {}^{2} } \: \: \to \: \: | |w| | = \sqrt{5}$

Substituindo os valores na expressão:

$\sf cos(90 {}^{o} ) = \frac{(x,y) \: \cdot \:(1,2)}{1 \: . \: \sqrt{5} } \: \: \to \: \: 0 = \frac{(x,y) \: \cdot \:(1,2)}{1 \: . \: \sqrt{5} } \\ \\ \sf (x,y) \: \cdot \:(1,2) = 0 \: \: \to \: \: x.1 + 2.y = 0 \\ \\ \boxed{\sf x + 2y = 0}$

Outra expressão que podemos tirar de tudo isso é que a norma deste vetor u é igual a 1, ou seja:

$\sf u = (x,y) \: \: \to \: \: | |u| | = \sqrt{x {}^{2} + {y}^{2} } \\ \\ \bullet \: \sf mas, \: | |u| | = 1 \\ \\ \sf \sqrt{x {}^{2} + y {}^{2} } = 1$

Organizando estas equações em um sistema:

$\sf \begin{cases} \sf x + 2y = 0 \\ \sf \sqrt{x {}^{2} + y {}^{2} } = 1 \end{cases} \\ \\ \sf x + 2y = 0 \: \: \to \: \: x = - 2y \\ \\ \sf \sqrt{( - 2y) {}^{2} + y {}^{2} } = 1 \: \: \to \: \: \sqrt{4y {}^{2} + y {}^{2} } = 1 \\ \sf \sqrt{5y {}^{2} } = 1 \: \: \to \: \: y = \frac{1}{ \sqrt{5} } \: \: ou \: \: \frac{ \sqrt{5} }{5} \\ \\ \sf x + 2y = 0 \: \: \to \: \: x + 2. \left( \frac{ \sqrt{5} }{5} \right) =0 \: \\ \sf x + \frac{2 \sqrt{5} }{5} = 0 \: \: \to \: \: x = - \frac{2 \sqrt{5} }{5}$

Portanto, temos que o vetor u é dado por:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{\sf u = \left( - \frac{2 \sqrt{5} }{5},\frac{ \sqrt{5} }{5} \right)}$

Espero ter ajudado