Question

Determina a inversa da matriz ordem 2
A= [ 5 6
       4 5]
(passo a passo)

Answer 1

Um jeito simples de calcular a inversa de uma matriz é montando um sistema baseado na propriedade da Identidade.

O produto de uma matriz pela sua inversa resulta numa matriz identidade.
$M * M^{-1} = I$

Exemplo:

$M = \left[\begin{array}{ccc}8&4\\6&10\end{array}\right]$

$M^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}-0.25&0.5\\0.75&-1\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{ccc}8&4\\6&10\end{array}\right] * \left[\begin{array}{ccc}-0.25&0.5\\0.75&-1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right]$

RESOLVENDO...

$M = \left[\begin{array}{ccc}5&6\\4&5\end{array}\right]$

Sua inversa é desconhecida...

$M^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right]$

Pela propriedade apresentada, sabemos que :

$\left[\begin{array}{ccc}5&6\\4&5\end{array}\right] * \left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right]$

Montemos então o sistema a partir da multiplicação de matrizes.

1ª Linha, 1ª Coluna:  5a + 6c = 1
1ª Linha, 2ª Coluna:  5b + 6d = 0
2ª Linha, 1ª Coluna:  4a + 5c = 0
2ª Linha, 2ª Coluna:  4b + 5d = 1

Temos um sistema possível e determinado. 4 Equações, 4 incógnitas.

5a + 6c = 1
5b + 6d = 0
4a + 5c = 0
4b + 5d = 1

Irei aplicar o método de Cramer para resolver o sistema mais rapidamente. Mas não importa a forma como você optar por resolver, deverá chegar nos mesmos valores.

5a + 0b + 6c + 0d = 1
0a + 5b + 0c + 6d = 0
4a + 0b + 5c + 0d = 0
0a + 4b + 0c + 5d = 1

$S = \left[\begin{array}{cccc}5&0&6&0\\0&5&0&6\\4&0&5&0\\0&4&0&5\end{array}\right]$

det(S) = 1

$A = \left[\begin{array}{cccc}1&0&6&0\\0&5&0&6\\0&0&5&0\\1&4&0&5\end{array}\right]$

det(A) = 5

$B = \left[\begin{array}{cccc}5&1&6&0\\0&0&0&6\\4&0&5&0\\0&1&0&5\end{array}\right]$

det(B) = -6

$C = \left[\begin{array}{cccc}5&0&1&0\\0&5&0&6\\4&0&0&0\\0&4&1&5\end{array}\right]$

det(C) = -4

$D = \left[\begin{array}{cccc}5&0&6&1\\0&5&0&0\\4&0&5&0\\0&4&0&1\end{array}\right]$

det(D) = 5

Encontrando os valores das incógnitas a, b, c e d:

$a = \frac{det(A)}{det(S)} = \frac{5}{1} = 5$

$b = \frac{det(B)}{det(S)} = \frac{-6}{1} = -6$

$c = \frac{det(C)}{det(S)} = \frac{-4}{1} = -4$

$d = \frac{det(D)}{det(S)} = \frac{5}{1} = 5$

Pronto ! Temos a inversa da Matriz !

$M^{-1} = \left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}5&-6\\-4&5\end{array}\right]$



Bom, parece trabalhoso, mas nem é tanto :)

Segue em anexo a imagem de um print de um software para conferir o resultado.