Question

determina a equação do plano alfa que passa pelo ponto A=(1,0,2) e perpendicular aos planos Pi :3x-2y-z-6=0 e Pi: x-2y+4z-3=0

Answer 1

Seja  $\overrightarrow{\mathbf{v}}=(a,\,b,\,c)$  um vetor normal ao plano  $\alpha$  procurado:

     $\alpha:~~ax+by+cz+d=0$


O plano  $\alpha$  é simultaneamente perpendicular aos planos  $\pi_1$  e  $\pi_2,$  cujas equações gerais são

     $\pi_1:~~3x-2y-z-6=0\\\\ \pi_2:~~x-2y+4z-3=0$


Das equações acima, obtemos as coordenadas de vetores normais para  $\pi_1$  e  $\pi_2,$  respectivamente:

     $\overrightarrow{\mathbf{n}}_1=(3,\,-2,\,-1)\quad\textsf{ e }\quad\overrightarrow{\mathbf{n}}_2=(1,\,-2,\,4).$


Dois planos são perpendiculares somente se seus vetores normais forem perpendiculares entre si.

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     •   Critério de ortogonalidade entre dois vetores:

     "Dois vetores são originais e, e somente se, o produto escalar entre eles é igual a zero."

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Então, devemos ter

     $\left\{\!\begin{array}{l}\overrightarrow{\mathbf{v}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{n}}_1=0\\\\ \overrightarrow{\mathbf{v}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{n}}_2=0\end{array}\right.\\\\\\\\ \left\{\!\begin{array}{l}(a,\,b,\,c)\cdot (3,\,-2,\,-1)=0\\\\ (a,\,b,\,c)\cdot (1,\,-2,\,4)=0\end{array}\right.\\\\\\\\ \left\{\!\begin{array}{lc}3a-2b-c=0\qquad\mathbf{(i)}\\\\ a-2b+4c=0\qquad\mathbf{(ii)}\end{array}\right.$


Isole  c  na equação  (i),  e substitua na equação  (ii):

     $c=3a-2b\qquad\mathbf{(iii)}$

     $a-2b+4(3a-2b)=0\\\\ a-2b+12a-8b=0\\\\ 13a-10b=0\\\\ 13a=10b\\\\ b=\dfrac{13}{10}\,a\qquad\mathbf{(iv)}$


Substituindo em  (iii),  obtemos

     $c=3a-2\cdot \dfrac{13}{10}\,a\\\\\\ c=\dfrac{30}{10}\,a-\dfrac{26}{10}\,a\\\\\\ c=\dfrac{4}{10}\,a\qquad\mathbf{(v)}$


Então os vetores normais de  $\alpha$  são da forma

     $\overrightarrow{\mathbf{v}}=(a,\,b,\,c)\\\\ \overrightarrow{\mathbf{v}}=\left(a,\,\dfrac{13}{10}\,a,\,\dfrac{4}{10}\,a\right)\\\\\\ \overrightarrow{\mathbf{v}}=\dfrac{a}{10}\,(10,\,13,\,4)\qquad a\in\mathbb{R}$


Podemos tomar  $a=10$  e um vetor normal de  $\alpha$  será

     $\overrightarrow{\mathbf{v}}=(10,\,13,\,4).$

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Como o ponto  $A(1,\,0,\,2)$  pertence ao plano  $\alpha,$   uma equação para  $\alpha$  é

     $\alpha:~~10(x-x_{_A})+13(y-y_{_A})+4(z-z_{_A})=0\\\\ \alpha:~~10(x-1)+13(y-0)+4(z-2)=0\\\\ \alpha:~~10x-10+13y+4z-8=0\\\\ \alpha:~~10x+13y+4z-10-8=0$

     $\boxed{\begin{array}{c}\alpha:~~10x+13y+4z-18=0 \end{array}}\quad\longleftarrow\quad\textsf{resposta.}$


Bons estudos! :-)