Question

Det(C) + Det(D) é a mesma coisa que Det(C+D)?

Answer 1

Não.

--> Note que para somar duas matrizes, é necessário que tenham as mesmas dimensões (numero de linhas e colunas). Como isso não é garantido na assertiva, não podemos garantir que exista C+D para calcularmos Det(C+D).

--> Se tivessem as mesmas dimensões, a assertiva ainda estaria incorreta. Perceba, podemos ter 2 matrizes em que ocorra Det(C) + Det(D) = Det(C+D), porém não é verdade para quaisquer 2 matrizes.

Podemos, por exemplo, utilizar 2 matrizes genéricas de dimensões 2x2 e verificar, acompanhe:

$A~=~\left[\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{array}\right] \\\\\\B~=~\left[\begin{array}{ccc}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{array}\right]\\\\\\A+B~=\left[\begin{array}{ccc}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}\end{array}\right]\\\\\\\\Det(A)~=~a_{11}.a_{22}-a_{12}.a_{21}\\\\Det(B)~=~b_{11}.b_{22}-b_{12}.b_{21}\\\\\\Det(A)+Det(B)~=~(a_{11}.a_{22}+b_{11}.b_{22})-(a_{12}.a_{21}+b_{12}.b_{21})$

$Det(A+B)= (a_{11}.b_{11}).(a_{22}+b_{22})-(a_{12}+b_{12}).(a_{21}+b_{21})$