Question

Desenvolver a integral ∫cos.sen(senx)dx

Answer 1

Olá, boa noite.

Desejamos resolver a seguinte integral:

$\displaystyle{\int \cos(x)\cdot\sin(\sin(x))\,dx$

Faça uma substituição $u=\sin(x)$. Diferenciamos ambos os lados da igualdade de modo a encontrarmos o diferencial $dx$:

$(u)'=(\sin(x))'$

Para calcular as derivadas, lembre-se que:

• A derivada de uma função $u=u(x)$ é dita implícita e é calculada pela regra da cadeia: $(u)'=1\cdot u^{1-1}\cdot u'=u'=\dfrac{du}{dx}$.
• A derivada da função seno é a função cosseno: $(\sin(x))'=\cos(x)$.

Assim, teremos:

$\dfrac{du}{dx}=\cos(x)$

Multiplique ambos os lados da igualdade pelo diferencial $dx$

$du=\cos(x)\,dx$

Observe que este elemento já está presente na integral, logo teremos:

$\displaystyle{\int \sin(u)\,du}$

Calcule a integral, sabendo que a integral da função seno é o oposto da função cosseno: $\displaystyle{\sin(x)\,dx=-\cos(x)+C$

$-\cos(u)+C$

Desfaça a substituição $u=\sin(x)$

$-\cos(\sin(x))+C,~C\in\mathbb{R}$

Este é o resultado desta integral.

Answer 2

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

∫cos.sen(senx)dx

Vamos fazer u = sen (x)

$\int\limits {sen (u)} \, dx = - cos (u) =\\\\= -cos(sen(x)) +C$