Question

Desenvolver a função que determina a área total de um paralelepípedo de dimensões (x - 3) cm, (x + 2) cm e (x + 4) cm e responder:

a) A função admite raízes reais? Se sim, quantas?

b) Sua concavidade está voltada para _____________.

c) O gráfico da função corta o eixo do Y em _________.

d) A variável x pode assumir valores reais exceto no intervalo real:

Answer 1

Resposta:

a) Sim, 3, -2 e -4

b) concavidade está voltada para cima

c) -24

d) A variável X pode assumir qualquer valor dentro do domínio dos reais.

Explicação passo-a-passo:

A área de um paralelepípedo (A) é a multiplicação de suas 3 dimensões:

A = (x-3).(x+2).(x+4)

vamos primeiro multiplicar os dois primeiros parenteses:

A = (x² + 2x -3x -6).(x+4)

A = (x² -x -6).(x+4)

A = x³ + 4x² - x² - 4x - 6x - 24

A = x³ + 3x² - 10x - 24

Já podemos saber a reposta de c), o gráfico corta o eixo Y em -24.

Para descobrir a raiz da nossa função, vamos tentar encontrar a primeira raiz a partir das possíveis raízes e depois aplicar o método Briot-Ruffini:

Tendo em vista que é um polinômio de grau 3, ele é do tipo:

a³ + b² + c + d

As possíveis raízes serão os divisores de d e as possíveis raízes até então, divididas por a:

Possíveis raízes: +-1, +-2, +-3, +-4, +-6, +-8, +-12, +-24, +-1/1, +-2/1, +-3/1, +-4/1, +-6/1, +-8/1, +-12/1, +-24/1

Possíveis raízes: +-1, +-2, +-3, +-4, +-6, +-8, +-12, +-24

Para que um número seja uma raiz, ao colocar ele na função o resultado precisa ser zero. Vamos testar as possíveis raízes na nossa função:

A(x) = x³ + 3x² - 10x - 24

Vamos começar pelas positivas:

A(1) = 1³ + 3.1² - 10.1 - 24

A(1) = 1+3-10-24

A(1) = -30

A(2) = 2³ + 3.2² - 10.2 - 24

A(2) = 8 +12 - 20 - 24

A(2) = -24

A(3) = 3³ + 3.3² - 10.3 - 24

A(3) = 27 +27 - 30 - 24

A(3) = 0

Logo 3 é uma raiz R.

Agora aplicamos o método Briot-Ruffini:

1. Transcrevemos os coeficientes e R.

2. Passe o primeiro coeficiente

3. Multiplique-o por R:

4. Some os valores da coluna:

5. Repita os passos 3 e 4 até a última coluna:

A(x) = x³ + 3x² - 10x - 24

  x³    |   1         3       -10         |    -24

------------------------------------------------

  3     |  /       3.1=3   6.3=18    | 8.3=24

------------------------------------------------

  x²    |  1     3+3=6  18-10=8   | 24-24=0

Com a última linha temos que:

  x²    |  1     3+3=6  18-10=8   | 24-24=0

1.x² + 6.x + 8 = 0

x² + 6.x + 8 = 0

Agora temos uma função de segundo grau, que podemos encontrar as raízes com Bhaskara:

R = [-b +- √(b² - 4ac) ] / 2.a

R = [-6 +- √(6² - 4.1.8) ] / 2.1

R = [-6 +- √4] / 2

R = [-6 +- 2] / 2

R2 = -4/2 = -2

R3 = -8/2 = -4

As 3 raízes são:

3, -2 e -4

Analisando as raízes e o ponto onde a função toca o eixo Y, podemos pressupor que a concavidade do gráfico é para cima.

Analisando novamente a função para descobrir o domínio:

A = x³ + 3x² - 10x - 24

A variável X pode assumir qualquer valor dentro do domínio dos reais, pois não há nenhum termo que impeça algum valor real de x.