Question

Desenvolve e simplifica (x-3y)⁴

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1.x⁴ 4.x³ 6.x² 4.x¹ 1.x°

x⁴3y°+4.x³3y¹-6.x²3y²+4.x¹3y³-1x°3x⁴

x⁴-12x³y+54x²y²-108xy³-81x⁴

Answer 2

O desenvolvimento de $\mathsf{(x-3y)^4}$ é $\mathsf{x^4 -12x^{3}y+ 54x^{2}y^{2}- 108x{ y}^3+ 81y^4.}</p><p>$

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Podemos desenvolver a expressão $\mathsf{(x-3y)^4}$ usando o Binômio de Newton.

Binômio de Newton

A expressão na forma $\mathsf{(x+y)^n, x, y \in \mathbb{R} \textsf{ e } n \in \mathbb{N}}$ é chamada Binômio de Newton.

O desenvolvimento desse binômio é dado pela seguinte fórmula:

$\mathsf{(x+y)^{n} = \displaystyle\sum^{n}_{k=0} \binom{n}{k} x^{n-k} y^{k}}$

em que

$\mathsf{\binom{n}{k}= \frac{n!}{(n-k)! k!}}$ sendo $\mathsf{n \geq k}$

Vamos usar essa fórmula para desenvolver a expressão $\mathsf{(x-3y)^4.}$

Temos:

$\mathsf{(x-3y)^4 = \sum^{4}_{k=0} \binom{4}{k} \cdot x^{4-k} \cdot {(-3y)}^{k}} \\</p><p>\mathsf{(x-3y)^4= \binom{4}{0} x^{4}\cdot {(-4y)}^{0}+ \binom{4}{1} x^{3}\cdot {(-3y)}^{1}</p><p>+ \binom{4}{2} x^{2}\cdot {(-3y)}^{2}+ </p><p> \binom{4}{3} x^{1}\cdot {(-3y)}^{3}+</p><p> \binom{4}{4} x^{0}\cdot {(-3y)}^{0}}</p><p>$

Calculando os coeficientes binomiais:

• $\mathsf{\binom{4}{0}= 1,}$ uma vez que $\mathsf{\binom{n}{0}= 1 \forall n \in \mathbb{N}}$

• $\mathsf{\binom{4}{1}= 4,}$ porque $\mathsf{\binom{n}{1}= n, \forall n \in \mathbb{N}}$

• $\mathsf{\binom{4}{2}= \frac{4!}{(4-2)! 2!}= \frac{4 \cdot 3\cdot \cancel{2!}}{2! \cdot \cancel{2!}}= 6}$

• $\mathsf{\binom{4}{3}= \frac{4!}{(4-3)! 3!}= \frac{4 \cdot \cancel{3!}}{1! \cdot \cancel{3!}}= 4}$

• $\mathsf{\binom{4}{0}= 1,}$ pois $\mathsf{\binom{n}{o}= 1, \forall n \in \mathbb{N}.}$

Daí,

$\mathsf{(x-3y)^4= x^4 + 4x^{3}(-3y)+ 6 \cdot x^{2} \cdot 9 y^2+4x (-27)y^3+ 81y^4}\\</p><p>\mathsf{(x-3y)^4= x^4 -12x^{3}y+ 54x^{2}y^{2}- 108x{ y}^3+ 81y^4}</p><p>$

Portanto, o desenvolvendo e simplificando o binômio $\mathsf{(x-3y)^4,}$ obtemos $\mathsf{x^4 -12x^{3}y+ 54x^{2}y^{2}- 108x{ y}^3+ 81y^4}</p><p>$

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Observação: Você poderia utilizar a seguinte fórmula também:

$\mathsf{(a+b)^4= a^4 +4a^{3}b+ 6a^{2}b^{2}+4a{b}^3+ b^4}$

Essa fórmula vem do Binômio de Newton.