Question

desenvolva o binômio de newton (x+3)^8

Answer 1

O desenvolvimento do binômio de Newton

$(a+b)^{n}$

possui $n+1$ termos.


E o termo na posição $k+1$ (o $k+1$-ésimo termo) é dado por

$t_{k+1}=\binom{n}{k}\,a^{n-k}\,b^{k}\;\;\;\;(0\leq k\leq n)$


E o desenvolvimento do binômio é a soma de todos os termos:

$(a+b)^{n}=\underset{k=0}{\overset{n}{\sum}}t_{k+1}\\ \\ \\ \boxed{\begin{array}{c}(a+b)^{n}=\underset{k=0}{\overset{n}{\sum}}\binom{n}{k}\,a^{n-k}\,b^{k}\end{array}}$


Então, para o binômio

$(x+3)^{8}\;\;\;\Rightarrow\;\;\left\{\begin{array}{l} a=x\\ b=3\\ n=8 \end{array}\right.$

e o desenvolvimento terá $8+1=9$ termos.


O termo na posição $k+1$ é dado por

$t_{k+1}=\binom{8}{k}\,x^{8-k}\cdot 3^{k}\;\;\;\;(0\leq k\leq 8)$


Vamos encontrar os $9$ termos do desenvolvimento do binômio:

$\bullet\;\;$ Para $k=0,$ o primeiro termo é

$t_{1}=\binom{8}{0}\,x^{8}\cdot 3^{0}\\ \\ t_{1}=\frac{8!}{0!\cdot(8-0)!}\cdot x^{8}\cdot 1\\ \\ t_{1}=\frac{\diagup\!\!\!\!\! 8!}{1\cdot \diagup\!\!\!\!\! 8!}\cdot x^{8}\cdot 1\\ \\ t_{1}=x^{8}$


$\bullet\;\;$ Para $k=1,$ o segundo termo é

$t_{2}=\binom{8}{1}\,x^{8-1}\cdot 3^{1}\\ \\ t_{2}=\frac{8!}{1!\cdot (8-1)!}\cdot x^{7}\cdot 3\\ \\ t_{2}=\frac{8\cdot \diagup\!\!\!\!\! 7!}{1\cdot \diagup\!\!\!\!\! 7!}\cdot x^{7}\cdot 3\\ \\ t_{2}=24\,x^{7}$


$\bullet\;\;$ Para $k=2,$ o terceiro termo é

$t_{3}=\binom{8}{2}\,x^{8-2}\cdot 3^{2}\\ \\ t_{3}=\frac{8!}{2!\cdot (8-2)!}\cdot x^{6}\cdot 3^{2}\\ \\ t_{3}=\frac{8\cdot 7\cdot \diagup\!\!\!\!\! 6!}{2\cdot 1\cdot \diagup\!\!\!\!\! 6!}\cdot x^{6}\cdot 9\\ \\ t_{3}=252\,x^{6}$


$\bullet\;\;$ Para $k=3,$ o quarto termo é

$t_{4}=\binom{8}{3}\,x^{8-3}\cdot 3^{3}\\ \\ t_{4}=\frac{8!}{3!\cdot (8-3)!}\cdot x^{5}\cdot 27\\ \\ t_{4}=\frac{8\cdot 7\cdot 6\cdot \diagup\!\!\!\!\! 5!}{3\cdot 2\cdot 1\cdot \diagup\!\!\!\!\! 5!}\cdot x^{5}\cdot 27\\ \\ t_{4}=1\,512\,x^{5}$


$\bullet\;\;$ Para $k=4,$ o quinto termo é

$t_{5}=\binom{8}{4}\,x^{8-4}\cdot 3^{4}\\ \\ t_{5}=\frac{8!}{4!\cdot (8-4)!}\cdot x^{4}\cdot 81\\ \\ t_{5}=\frac{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot \diagup\!\!\!\!\! 4!}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot \diagup\!\!\!\!\! 4!}\cdot x^{4}\cdot 81\\ \\ t_{5}=5\,670\,x^{4}$


$\bullet\;\;$ Para $k=5,$ o sexto termo é

$t_{6}=\binom{8}{5}\,x^{8-5}\cdot 3^{5}\\ \\ t_{6}=\frac{8!}{5!\cdot (8-5)!}\cdot x^{3}\cdot 243\\ \\ t_{6}=\frac{8\cdot 7\cdot 6\cdot \diagup\!\!\!\!\! 5!}{\diagup\!\!\!\!\! 5!\cdot 3\cdot 2\cdot 1}\cdot x^{3}\cdot 243\\ \\ t_{6}=13\,608\,x^{3}$


$\bullet\;\;$ Para $k=6,$ o sétimo termo é

$t_{7}=\binom{8}{6}\,x^{8-6}\cdot 3^{6}\\ \\ t_{7}=\frac{8!}{6!\cdot (8-6)!}\cdot x^{2}\cdot 729\\ \\ t_{7}=\frac{8\cdot 7\cdot \diagup\!\!\!\!\! 6!}{\diagup\!\!\!\!\! 6!\cdot 2\cdot 1}\cdot x^{2}\cdot 729\\ \\ t_{7}=20\,412\,x^{2}$


$\bullet\;\;$ Para $k=7,$ o oitavo termo é

$t_{8}=\binom{8}{7}\,x^{8-7}\cdot 3^{7}\\ \\ t_{8}=\frac{8!}{7!\cdot (8-7)!}\cdot x^{1}\cdot 2\,187\\ \\ t_{8}=\frac{8\cdot \diagup\!\!\!\!\! 7!}{\diagup\!\!\!\!\! 7!\cdot 1}\cdot x\cdot 2\,187\\ \\ t_{8}=17\,496\,x$


$\bullet\;\;$ Para $k=8,$ o nono termo é

$t_{9}=\binom{8}{8}\,x^{8-8}\cdot 3^{8}\\ \\ t_{9}=\frac{8!}{8!\cdot (8-8)!}\cdot x^{0}\cdot 6\,561\\ \\ t_{9}=\frac{\diagup\!\!\!\!\! 8!}{\diagup\!\!\!\!\! 8!\cdot 1}\cdot 1\cdot 6\,561\\ \\ t_{9}=6\,561$


Então, o desenvolvimento do binômio é

$(x+3)^{8}=\underset{k=0}{\overset{8}{\sum}}t_{k+1}\\ \\ \\ (x+3)^{8}=t_{1}+t_{2}+\ldots+t_{8}+t_{9}\\ \\ \\ \boxed{\begin{array}{cl} (x+3)^{8}=&x^{8}+24\,x^{7}+252\,x^{6}+1\,512\,x^{5}+5\,670\,x^{4}\\ \\&+13\,608\,x^{3}+20\,412\,x^{2}+17\,496\,x+6\,561 \end{array}}$