Question

desenvolva o binômio de Newton (3x-2)^5​

Answer 1

Olá, boa noite ◉‿◉.

Para realizar esse cálculo, vamos usar a fórmula do desenvolvimento do binômio:

$\boxed{\boxed{(a + b) {}^{n} = \sum_{n=0}^{n} {}^{n} C_{p}a {}^{(n - p)} b {}^{p} }}$

$(3x - 2) {}^{5} = \binom{5}{0} .(3x) {}^{5 } .( - 2) {}^{0} + \binom{5}{1} .(3x) {}^{4} .( - 2) {}^{1} + \binom{5}{2} .(3x) {}^{3} .( - 2) {}^{2} + \binom{5}{3} .(3x) {}^{2} .( - 2) {}^{3} + \binom{5}{4} .(3x) {}^{1} .( - 2) {}^{4} + \binom{5}{5} .(3x) {}^{0} .( - 2) {}^{5} \\ \\ (3x - 2) {}^{5} = 1.243x {}^{5} + 5.81x {}^{4} .( - 2) + 10.27x {}^{3} .(4) + 10.9x {}^{2} .( - 8) + 5.(3x).(16) + 1.1.( - 32) \\ \\ \red{\boxed{(3x - 2) {}^{5} = 243 {x}^{5} - 810x {}^{4} + 1080x {}^{3} - 720x {}^{2} + 240x - 32}}$

Essa é a resposta, mas antes de finalizar, vamos entender como é realizado o cálculo dos binômios.

Para calcular os valores de binômios usamos a seguinte forma de combinação:

$\boxed{ \binom{n}{p} = \frac{n!}{p!(n - p)!} }$

Sabendo da mesma, vamos calcular cada um deles:

1) Primeiro binômio:

$\boxed{ \binom{5}{0} = \frac{5!}{0!(5 - 0)! } \rightarrow \frac{5!}{0!5!} \rightarrow \frac{5.4.3.2.1}{1.5.4.3.2.1} = 1}$

Macete:

Realizamos esse cálculo, mas não seria necessário, pois sempre que um binômio tem um número 0 na parte de baixo o resultado é 1.

$\large\binom{n}{0} = 1$

2) Segundo binômio:

$\boxed{ \binom{5}{1} = \frac{5!}{1!(5 - 1)! } \rightarrow \frac{5!}{1!4!} \rightarrow \frac{5.4.3.2.1}{1.4.3.2.1} = \frac{120}{24} = 5 \: }$

Macete:

Assim como o outro, esse também possui um seria macete. Sempre que um binômio tiver na parte de baixo um número igual a 1, o resultado é o número da parte de cima:

$\large\binom{n}{1} = n$

3) Terceiro binômio:

$\boxed{ \binom{5}{2} = \frac{5!}{2!(5 - 2)! } \rightarrow \frac{5!}{2!3!} \rightarrow \frac{5.4.3.2.1}{2.1.3.2.1} = \frac{120}{12} = 10 \: }$

Esse necessita do cálculo.

4) Quarto binômio

$\boxed{ \binom{5}{3} = \frac{5!}{3!(5 - 3)! } \rightarrow \frac{5!}{3!2!} \rightarrow \frac{5.4.3.2.1}{3.2.1.2.1} = \frac{120}{12} = 10 \: }$

Macete:

Esse binômio e o binômio anterior são complementares, ou seja, possuem o mesmo valor.

$\binom{n}{q} e \: \binom{n}{p} \\ \\ p + q = n \: \rightarrow \: \sf{complementares} \\ \\ \binom{5}{2} e \binom{5}{3} \\ \\ 2 + 3 = 5 \: \rightarrow \sf{complementares}$

4) Quinto binômio:

$\boxed{ \binom{5}{4} = \frac{5!}{4!(5 - 4)! } \rightarrow \frac{5!}{4!1!} \rightarrow \frac{5.4.3.2.1}{4.3.2.1.1} = \frac{120}{24} = 5 \: }$

Macete:

Este também possui um macete.

Quando o número da parte de baixo é antecessor do de cima, o resultado é o número de cima.

$\large\binom{n}{n - 1} = n$

5) Quinto binômio:

$\boxed{ \binom{5}{5} = \frac{5!}{5!(5 - 5)! } \rightarrow \frac{5!}{5!0!} \rightarrow \frac{5.4.3.2.1}{5.4.3.2.1.1} = \frac{120}{120} = 1 \: }$

Macete:

Por fim também temos um macete para esse binômio.

Quando a parte de cima e a parte de baixo são iguais, o resultado é 1.

$\large\binom{n}{n} = 1$

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️