Question

desenvolva o binômio (3x - 2y) ao 4​

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Você pode fazer a conta na força bruta, mas o ideal é usar o Triângulo de Pascal (imagem). Triângulo de Pascal é um triângulo aritmético infinito onde estão os coeficientes de expansões binomiais.

As linhas dele estão dispostas de forma que o coeficiente de por exemplo (a+b)² está na linha do expoente + 1, ou seja, nesse caso, a terceira linha.

Então nós montamos o "resultado" escrevendo os coeficientes da quinta linha do triângulo de pascal, colocando os termos multiplicados com os expoentes variando de 4 a 0 pro primeiro termo e de 0 a 4 pro segundo e por fim, como é uma subtração, colocamos os sinais alternados, começando com + (se fosse uma adição, os sinais seriam todos positivos).

$(3x - 2y)^4=+ 1(3x)^4(2y)^0 - 4(3x)^3(2y)^1 + 6(3x)^2(2y)^2 - 4(3x)^1(2y)^3 + 1(3x)^0(2y)^4$

Depois disso, é só resolver:

$(3x - 2y)^4= 81x^4 - 216x^3y + 216x^2y^2 - 96xy^3 + 16y^4$

Answer 2

Olá, boa noite!

Resposta:

$\Large{\color{blue}{\boxed{\boxed{\boxed{\color{red}{\mathsf{81x^4 -216x^3 y+216x^2 y^2 - 96xy^3 + 16y^4}}}}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Para que possamos desenvolver o binômio apresentado acima no enunciado, será necessário que utilizemos o Teorema da Expansão Binomial. Afim de encontrarmos o valor de todos os termos:

$\mathsf{(x+y)^n = \displaystyle{\sum_{k=0}^{n} \left(\begin{array}{c}n \\ k \end{array}\right) \cdot (x^{n-k}y^k)}}$

$\mathsf{\displaystyle{\sum_{k=0}^{4} \dfrac{4!}{(4-k)!k!} \cdot (3x)^{4-k} \cdot (-2y)^k}}$

Agora devemos expandir a soma, levando em consideração que k = 0; 1; 2; 3; 4. Em sequência na nossa soma.

$\mathsf{\dfrac{4!}{(4-0)!0!} \cdot (3x)^{4-0} \cdot (-2y)^0 + \dfrac{4!}{(4-1)!1!} \cdot (3x)^{4-1} \cdot (-2y)^1 + \dfrac{4!}{(4-2)!2!} \cdot (3x)^{4-2} \cdot (-2y)^2 + \dfrac{4!}{(4-3)!3!} \cdot (3x)^{4-3} \cdot (-2y)^3 + \dfrac{4!}{(4-4)!4!} \cdot (3x)^{4-4} \cdot (-2y)^4}$

Após simplificar toda essa expressão devemos obter como resultado:

$\mathsf{1 \cdot (3x)^4 \cdot (-2y)^0 + 4 \cdot (3x)^3 \cdot (-2y)^1 + 6 \cdot (3x)^2 \cdot (-2y)^2 + 4 \cdot (3x)^1 \cdot (-2y)^3 + 1 \cdot (3x)^0 \cdot (-2y)^4}$

E como etapa fina, devemos simplificar esta expressão também:

$\mathsf{</p><p>3^4 x^4 \cdot (-2y)^0+4 \cdot (3x)^3 \cdot (-2y)^1+6 \cdot (3x)^2 \cdot (-2y)^2+4 \cdot (3x)^1 \cdot (-2y)^3+1 \cdot (3x)^0 \cdot (-2y)^4}$

$\mathsf{81x^4+108x^3 \cdot (-2y)+6 \cdot (3x)^2 \cdot (-2y)^2+4 \cdot (3x)^1⋅(-2y)^3+1 \cdot (3x)^0 \cdot (-2y)^4}$

$\mathsf{81x^4-216x^3 y+216x^2 y^2+12 \cdot -8(xy^3)+1 \cdot (3x)^0 \cdot (-2y)^4 }$

$\boxed{\color{red}{\mathsf{81x^4 -216x^3 y+216x^2 y^2 - 96xy^3 + 16y^4}}}$

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$\Large{\boxed{\boxed{\Leftarrow \textrm{\color{red}{Atte:} \color{purple}{ Deskroot}} \Rightarrow}}}$