Question

desenvolva f(x)= cosx, 0 < x < π em série de senos
(tema: série de Fourier)​

Answer 1

Encontrando os coeficientes de Fourier da serie cos(x), temos que sua serie de seno é a seguinte:

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{16n}{\pi(4n^2-1)}sen(\frac{2nx)$

Explicação passo-a-passo:

Para determinarmos a serie de Fourier de Senos, basta encontrarmos os coeficientes Bn da serie somente, que são dados pela relação :

$B_n=\frac{1}{L}\int\limits^{c+2L}_{c} f(x)sen(\frac{n\pi}{L}x)dx$

Substituindo os valores pela nossa função dada:

$B_n=\frac{2}{\pi}\int\limits^{\pi}_{0} cos(x)sen(2nx)dx$

Resolvendo esta integral transformando o interior em uma soma de senos utilizando propriedades trigonometricas:

$B_n=\frac{2}{\pi}\int\limits^{\pi}_{0} [sen(2nx+x)+sen(2nx-x)]dx$

$B_n=\frac{2}{\pi}\int\limits^{\pi}_{0} [sen((2n+1)x)+sen((2n-1)x)]dx$

Integrando isto:

$B_n=\frac{2}{\pi}[-\frac{cos((2n+1)x)}{2n+1}-\frac{cos((2n-1)x)}{2n-1}]\limits^{\pi}_{0}dx$

$B_n=\frac{2}{\pi}[-\frac{-1-1}{2n+1}-\frac{-1-1}{2n-1}]dx$

$B_n=\frac{2}{\pi}[\frac{2}{2n+1}+\frac{2}{2n-1}]dx$

$B_n=\frac{2}{\pi}[\frac{8n}{4n^2-1}]dx$

$B_n=\frac{16n}{\pi(4n^2-1)}dx$

Agora basta colocar este coeficiente na serie:

$\sum_{n=1}^{\infty} B_n.sen(\frac{n\pi}{L}x)$

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{16n}{\pi(4n^2-1)}sen(\frac{2nx)$

Então temos que nossa Serie de senos é dada por:

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{16n}{\pi(4n^2-1)}sen(\frac{2nx)$