Matemática, perguntado por luluprincesa, 5 meses atrás

Desenvolva binômio (x+2)⁵

Soluções para a tarefa

Respondido por Nitoryu

A partir dos dados fornecidos pelo problema e dos devidos cálculos que realizaremos, é possível verificar que o desenvolvimento do nosso binômio é: x⁵ + 10 x⁴ + 40 x³ + 80 x² + 80 x + 32.

Queremos encontrar o desenvolvimento do binômio (x+2)⁵, vemos que o expoente com o qual nosso binômio é elevado não é um fator de 2, então não podemos fatorar esse binômio em binômios do segundo grau para resolver isso de uma forma simples. Vemos que esse binômio não pode ser fatorado, então, como não pode ser fatorado, não será possível resolvê-lo da maneira que conhecemos, então o que podemos fazer é usar o binômio de Newton.

O binômio de Newton é uma fórmula geral para expandir a enésima potência de um binômio, resultando na referida expansão em um polinômio ou em uma série infinita de potências. Além disso, é chamado de teorema binomial. Para aplicar o teorema binomial ou binomial de Newton devemos usar a fórmula:

$\sf \boxed{ \boxed{\bf (a + b)^n =\sum\limits^{n} _{i= 0} \dbinom{n}{i} a^{n - i} b^i}}$

Aplicando o binômio de Newton obtemos o desenvolvimento de (x+2)⁵ pela expressão:

$\sf \ (x + 2)^5= \dbinom{5}{0} x^{5 - 0} 2^0+ \dbinom{5}{1} x^{5-1} 2^1+\dbinom{5}{2} x^{5-2} 2^2+ \dbinom{5}{3} x^{5-3} 2^3 +\dbinom{5}{4} x^{5-4} 2^4 +\dbinom{5}{5} x^{5-5} 2^5$

Agora vamos desenvolver os números binomiais. Para fazer esse desenvolvimento, usamos a seguinte relação:

$\sf \dbinom{n}{p} =\dfrac{n!}{p!\cdot (n - p)!}$

Então aplicando esta relação em nossa expressão podemos obter a expressão:

$\sf \ (x + 2)^5= \dfrac{5!}{0!\cdot (5-0)!} x^{5 - 0} 2^0+ \ \dfrac{5!}{1!\cdot (5 - 1)!} x^{5-1} 2^1+ \dfrac{5!}{2!\cdot (5 - 2)!} x^{5-2} 2^2+ \dfrac{5!}{3!\cdot (5 - 3)!}x^{5-3} 2^3 + \dfrac{5!}{4!\cdot (5 - 4)!} x^{5-4} 2^4 + \dfrac{5!}{5!\cdot (5 - 5)!} x^{5-5} 2^5 \\ \\ \sf = \dfrac{\not\!\!5!}{0!\cdot\not\!\! (5 )!} x^{5} \cdot 1+ \ \dfrac{5\cdot \not\!\!4!}{1!\cdot \not\!\!(4)!} x^{4} \cdot 2+ \dfrac{5\cdot 4\cdot \not\!\! 3!}{2!\cdot\not\!\! (3)!} x^{3} \cdot 4+ \dfrac{5 \cdot4 \cdot\not\!\! 3!}{\not\!\!3!\cdot (2)!}x^{2} \cdot 8 + \dfrac{5 \cdot \not\!\!4!}{ \not\!\!4!\cdot (1)!} x^{1} \cdot 16 + \dfrac{ \not\!\!5!}{ \not\!\!5!\cdot (0)!} x^{0} \cdot 32\\\\ \sf = 1\cdot x^{5} + 5\cdot 2 x^{4} +10\cdot 4 x^{3} +1 0\cdot8 x^{2} + 5 \cdot16x+ 1 \cdot 32\\\\ \sf\boxed{\boxed{\bf = x^5 +10 x^4+40 x^3+ 80 x^2 + 80 x + 32}}~\Longrightarrow~ Resposta ~\checkmark$