Question

Desenvolva a integral por parte 7xln(x)dx

Answer 1

• Introdução:

Temos a seguinte integral:

$\sf \int 7x ln(x) dx$

• A questão nos indica a resolvê-la através do método de integração por partes, nesse método devemos fazer algumas derivações e obviamente integrações. Para que não sejamos prejudicados é interessante escolhermos os termos mais simples para cada operação.

A integração por partes, possui uma fórmula, dada por:

$\boxed{ \sf \int u.dv = u.v - \int v.du}$

• Escolha dos termos:

Se escolhermos o ln(x) para ser o nosso "dv" teremos que integra-lo, já se ele for escolhido para ser o "u", ele deverá ser derivado. A integral de ln(x) é encontrada também através de integração por partes, ou seja, como não queremos muito trabalho, vamos dizer que ln(x) é o nosso "u";

$\sf u = ln(x) \\ \sf \frac{du}{dx} = \frac{1}{x} \\ \sf du = \frac{dx}{x}$

Agora devemos integrar o restante da expressão, ou seja, 7xdx:

$\sf dv = 7xdx \\ \sf \int dv = \int 7xdx \\ \sf v = \frac{7 {x}^{2} }{2}$

Tendo feito toda essa organização de valores, vamos substituí-los na fórmula:

$\sf \int u.dv = u.v - \int v.du \\ \\ \sf \int ln(x).7xdx = ln(x). \frac{7x {}^{2} }{2} - \int \frac{7x {}^{2} }{2} . \frac{dx}{x} \\ \\ \sf \int 7x.ln(x)dx = \frac{7x {}^{2} }{2} ln(x) - \int \frac{7}{2} .x . \cancel{x}. \frac{dx}{ \cancel{x}} \\ \\ \sf \int7x.ln(x).dx = \frac{7x {}^{2} }{2} ln(x) - \int \frac{7}{2} .xdx$

Teremos que integrar o "x", já 7/2 não será necessário integrar, pois é um valor constante, pada fazer essa integração, usaremos uma das integrais imediatas:

$\boxed{ \sf \int u {}^{n}du = \frac{u {}^{n + 1} }{n + 1} }$

Aplicando:

$\sf \int7x.ln(x).dx = \frac{7x {}^{2} }{2} ln(x) - \frac{7}{2} . \frac{x {}^{1 + 1} }{1 + 1} \\ \\ \sf \int 7x.ln(x).dx = \frac{7x {}^{2} }{2}ln(x) - \frac{7}{2} . \frac{x {}^{2} }{2} \\ \\ \boxed{ \sf \int 7x.ln(x).dx = \frac{7x {}^{2} }{2} ln(x) - \frac{7x {}^{2} }{4} + C}$

Espero ter ajudado