Question

Deseja-se pintar a área superficial (superfície externa e lateral) de um equipamento em forma de um paraboloide, o qual pode ser descrita pela equação z=x^2+y^2. Situada na região do espaço de coordenadas cartesianas (x,y,z) dada pela equação z<4 Os eixos coordenados estão dimensionados em metros e são gastos 50 mL de tinta para cada metro quadrado de área da superfície a ser pintada. Apresente a integral que calcula a área da superfície do equipamento em coordenadas cartesianas e em coordenadas não cartesianas. Depois, indique qual seria a quantidade de tinta, em litros, necessária para se pintar o equipamento.

Answer 1

O total gasto de tinta é Total gasto = 200 * $\int\limits^0_\pi$ $\int\limits^2_0$  r * √(4* r² + 1)dr dθ

1) Primeiramente, devemos entender que o paraboloide trata-se de uma figura que seu formado não é um formato padrão, ou seja, como um triângulo que têm sua área dada como base multiplicado pelo altura e divido por 2. A área do paraboloide só pode ser determinada atraves da integral que permite pegar todos os pontos de área em relação ao formato do paraboloide. Assim, teremos:

Área = ∬ (ur * uθ)dA

Área = $\int\limits^c_d$ $\int\limits^b_a$ (ur * uθ)dr dθ

2) Como a superfície pode ser descrita como z = x² + y², teremos:

x = r * seno(θ)

y = r * cosseno(θ)

z = x² + y² = r² Onde: z < 4, logo, 0 < r < 2

3) Assim, teremos que:

u(r,θ) = (x(r, θ), y(r, θ), z(r, θ)) Onde: 0≤ r≤ 2 e  0 ≤ θ ≤ 2π

u(r,θ) = (r * sen(θ)), r * cos(θ)), r²)

4) Logo, precisamos calcular o produto vetorial para determinar os parâmetros. Logo, aplicando o produto matricial, teremos:

Ur * Uθ =       i              j          k                  =      i            j           k

                     dx/dr   dy/dr   dz/dr                     senθ   cosθ     2r

                     dx/dθ  dy/dθ  dz/dθ                  r*cosθ   -rsenθ   0

Ur * Uθ = ( 2 * r² * senθ, 2 * r² * cosθ, -r * sen²x - r * cos² x)

Ur * Uθ = √4 * r^4 * (sen² + cos²) + r²

Ur * Uθ = √4 * r^4 + r²

Ur * Uθ = √r² * (4 * r^4 + 1)

Ur * Uθ = r * √(4 * r² + 1)

5) Por fim, teremos a área do paraboloide dada por:

Área = ∬ (ur * uθ)dA

Área = $\int\limits^0_\pi$ $\int\limits^2_0$  r * √(4 * r² + 1)dr dθ

Área = 4 * $\int\limits^0_\pi$ $\int\limits^2_0$  r * √(4* r² + 1)dr dθ

6) Como são gastos 50ml de tinta para cada metro, teremos:

Total gasto = 200 * $\int\limits^0_\pi$ $\int\limits^2_0$  r * √(4* r² + 1)dr dθ