Deseja-se formar números de 4 dígitos distintos com os algarismos 1, 2, 5, 7, 8 e 9.
a) Quantos números nesse formato descrito acima são menores que 5300?
Resposta:
Para o número formado, com 4 dígitos distintos, ser menor que 5300 temos dois casos a resolver. O primeiro caso, que o número formado começa com 1 ou com 2. Nesse caso, qualquer número que venha após o 1 ou 2 formará um número menor que 5300.
Então temos: na escolha do primeiro algarismo (unidade de milhar) 2 opções (1 ou 2); para o segundo algarismo (milhar) pode ser qualquer um dos 5 algarismos restantes; para o terceiro algarismo (dezena), restam 4 opções e para o quarto algarismo (unidade), restam 3 opções.
Assim, o total de números nesse formato é igual a 2.5.4.3 = 120.
No segundo caso, temos ainda a possibilidade do número começar com o algarismo 5. Para isso, o algarismo que deve ocupar a casa do milhar deve ser 1 ou 2, para que o número seja menor que 5300.
Então temos: o primeiro algarismo tem que ser o 5 (fixo, ou seja 1 opção); para o segundo algarismo (milhar) temos 2 opões (1 ou 2); no terceiro algarismo (dezena) temos 4 opções e para último algarismo (unidade) temos 3 opções.
Assim, o total de números nesse formato é igual a 1.2.4.3 = 24.
Juntando os dois casos, temos um total de 120 + 24 = 144 números de 4 dígitos distintos menores que 5300, utilizando somente os algarismos 1, 2, 5, 7, 8 e 9.
b) Quantos números nesse formato descrito acima são ímpares?
c) Quantos números nesse formato descrito acima aparece o algarismo 1?
03 – Rafael, Sara, Fábio e mais 5 pessoas vão formar uma fila.
a) De quantos modos distintos essas pessoas podem forma uma fila?
b) Em quantas dessas filas, Rafael, Sara e Fábio não ficam juntos?
c) De quantos modos distintos essas oito pessoas podem formar uma roda e ficarem de mãos dadas se Rafael, Sara e Fábio devem ficar juntos?
Soluções para a tarefa
Vamos lá,
Repare temos esses algarismos 1, 2, 5, 7, 8 , 9. Temos que formar números de 4 algarismos menores que 5300.
1º Caso ( Todos que começam com 1 e 2 ) (1,2) __ __ __ e para as três opções retantes temos 4! = 2x 24 = 48 formas começando com 1 e 2
2º Caso ( Os que começam com 5 e tem 1,2 na segunda opção ) 5 (1,2) __ __ e para as três opções retantes temos 2 x 4 X 3 = 24 = 24
Então temos 24 + 48 = 72 números de 4 algarismos menores que 5300 usando apenas os números 1,2,5,7,8,9 .
Questão B - Quantos números nesse formato descrito acima são ímpares?
Como temos a condição de ser impar, podemos pensar nos únicos que são pares ja que só o 2 e o 8 são pares então todos os terminados em 2 e 8 - quantidade total é nosso resultado:
(1,5) _3_ _2_ 2 = 2x6 = 12
(1,5) _3_ _2_ 8 = 2x6 = 12 Portanto, 24 números são pares, logo 72 - 24 = 48 ímpares.
3 a ) Permutação de 8 = 8! = 8X7X6X5X4X3X2X1 = 40320 formas diferentes.
B e C ) Vamos pensar o cenário aonde eles ficam juntos ai subtraimos do número total de possibilidades de formar a fila ai teremos a condição aonde pelo menos um deles n esta junto aos outros, então:
(Rafael, Sara e Fábio) vamos interpreta-los como 1 pessoa , então fora eles temos + 5 pessoas no total 6 pessoas, e temos P6=6! = 6x5x4x3x2x1 =720 assim : 40320 - 720 = 39600 formas os três não estarão juntos
Ao respondermos o item b dessa forma 720 formas de formar a roda são aonde Rafa, Sara e Fábio estão juntos ( uma fila pode ser pensada com a abertura de uma roda de ciranda).