Question

Deseja-se fabricar uma caixa (com tampa) de base quadrada, de lado x cm, e altura y cm,

cujo volume deve ser igual a 250 cm3

. O custo do material da base e da tampa ´e de R$ 2, 00

por cm2

, e o custo das laterais ´e de R$ 1, 00 por cm2

.

a) Mostre que, para x > 0, o custo total de fabricação

da caixa ´e dado por C(x) = 4x

2 +

1000

x

.

b) Determine C

′

(x) e o ponto crítico de C(x).

Answer 1

Resposta:

a) Veja demonstração abaixo.

b) O ponto crítico de C(x) é x=5 cm.

Explicação passo a passo:

a) Vamos calcular a área da base e das laterais da caixa.

A base e a tampa são quadrados de lado x, então a área de cada um é x*x = x^2.

Cada lado é um retângulo de lados x e y, então sua área é x*y.

Somando a área da base e da tampa com as 4 laterais, obtemos:

A(x,y) = 2*x^2 + 4*x*y

O custo será então:

C(x,y) = 2*2*x^2 + 1*4*x*y = 4*x^2+4*x*y

O volume da caixa é a área da base vezes a altura, então:

V(x,y) = x^2 * y = 250

Então, y = 250 / x^2

O custo fica então

C(x) = 4*x^2 + 4*x*250/x^2  = 4*x^2 + 1000/x

b) O ponto crítico de C(x) é tal que C'(x)=0, então derivando:

C'(x) = 8*x - 1000/x^2=0

=> 8*x = 1000/x^2

=> x^3 = 1000/8 = 125

=> x = 5 cm