Question

Deseja-se descobrir quantos degraus são visíveis numa escada rolante. Para isso foi feito o seguinte: duas pessoas começaram a subir a escada juntas, uma subindo um degrau de cada vez enquanto que a outra subia dois . Ao chegar ao topo, o primeiro contou 21 degraus enquanto o outro 28. Com esses dados foi possível responder a questão. Quantos degraus são visíveis nessa escada rolante? (obs: a escada está andando).

Answer 1

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Seja $\mathsf{N}$ o número total de degraus visíveis na escada rolante.

Suponha que os passos das duas pessoas estão sincronizados, de modo que a cada passo de ambos, a escada sobe uma certa quantidade $\mathsf{x}$ de degraus.

Em outras palavras, podemos dizer que a escada sobe a uma taxa de $\mathsf{x}$ degraus por passo.


•   Pessoa A:   Conta 21 degraus, dando passos de 1 em 1 degrau.

O total de passos dado pela pessoa A é

$\mathsf{p_A=\dfrac{21~degraus}{1~\frac{degrau}{passo}}}\\\\\\ \mathsf{p_A=21~passos\qquad\quad\checkmark}$


Isto significa que durante a subida da pessoa A, a quantidade de degraus que a escada se desloca é

$\mathsf{q_A=p_A\cdot x}\\\\ \mathsf{q_A=21x}$


Esta quantidade de degraus (21x), somada com o número de degraus contados pela pessoa A (21) é igual ao número de degraus visíveis (N):

$\mathsf{21x+21=N\qquad\quad(i)}$


•   Pessoa B:   Conta 28 degraus, dando passos de 2 em 2 degraus.

O total de passos dado pela pessoa B é

$\mathsf{p_B=\dfrac{28~degraus}{2~\frac{degraus}{passo}}}\\\\\\ \mathsf{p_B=14~passos\qquad\quad\checkmark}$


Isto significa que durante a subida da pessoa B, a quantidade de degraus que a escada se desloca é

$\mathsf{q_B=p_B\cdot x}\\\\ \mathsf{q_B=14x}$


Esta quantidade de degraus (14x), somada com o número de degraus contados pela pessoa B (28) é igual ao número de degraus visíveis (N):

$\mathsf{14x+28=N\qquad\quad(ii)}$

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Igualando $\mathsf{(i)}$ e $\mathsf{(ii)},$ ficamos com

$\mathsf{21x+21=14x+28}\\\\ \mathsf{21x-14x=28-21}\\\\ \mathsf{7x=7}\\\\ \mathsf{x=\dfrac{7}{7}}\\\\\\ \begin{array}{lcl} \!\!\!\mathsf{x=1~degrau/passo}&\quad\longleftarrow\quad&\textsf{taxa com que a escada se move, assumindo}\\ &&\textsf{que os passos das duas pessoas est\~ao}\\ &&\textsf{sincronizados.} \end{array}$


Substituindo este valor na equação $\mathsf{(i)},$ obtemos

$\mathsf{N=21\cdot 1+21}\\\\ \mathsf{N=21+21}\\\\ \begin{array}{lcl}\!\!\!\boxed{\begin{array}{c}\mathsf{N=42} \end{array}}&\quad\longleftarrow\quad&\textsf{n\'umero de degraus vis\'iveis}\\ &&\textsf{na escada rolante.} \end{array}$


Resposta:  42 degraus são visíveis na escada rolante.


Bons estudos! :-)


Tags:  desafio taxa relacionada discreta razão proporção grandezas velocidade quantidade contagem

Answer 2

Vamos a nomear cada pessoa como p₁ e p₂ e x como o numero de degraus.

p₁ sobe 1 degrau por vez e contou 21 degraus.
p₂ sobe 2 degraus por vez e contou 28 degraus.

Como p₂ anda 2 degraus por vez então ele deu apenas 28/2 = 14 passos;
Ou seja quando p₁ deu 14 passos ainda faltava 21-14 = 7 passos para chegar ao topo assim como em 14 degraus ela andou x em 7 andara x/2.
Logo:

$\mathrm{28 + x = (14+x)+(7+( \dfrac{x}{2})) } \\ \\ \\ \mathrm{28 + x = 21 + ( \dfrac{3x}{2}) } \\ \\ \\ \mathrm{ \dfrac{x}{2}= 7 } } \\ \\ \\ \mathrm{x = 14}$

Logo há 28 + 14 = 42 degraus