Question

Deseja-se construir uma janela, com 1 m² de área total, com a forma mostrada abaixo. Que escolhas de "x", "y" e θ dariam o menor perímetro?

Answer 1

Utilizando multiplicadores de Lagrange, temos os valores para o menor perimetro:

$x=\frac{1}{\sqrt{\sqrt{3}+2}}$

$y=\frac{1}{\sqrt{\sqrt{3}+2}}+\sqrt{\frac{1}{3\sqrt{3}+6}}$

$\theta=\frac{\pi}{6}$

Explicação passo-a-passo:

Vamos primeiramente construir a formulação da área desta janela utilizando geometria basica.

Para isso devemos somar a área do triangulo com a do retangulo.

A área do rentagulo é trivial:

$Ar=2xy$

Agora para a área do triangulo precisamo do comprimento da base que já sabemos (2x) e da altura "h", que queremos descobrir, para isso vamos utilizar o angulo dado. Note que:

$tg(\theta)=\frac{h}{x}$

$h=x.tg(\theta)$

Tendo a altura, agora vamos a área:

$At=\frac{2x.h}{2}$

$At=x.h$

$At=x.x.tg(\theta)$

$At=x^2tg(\theta)$

Agora somando a área do triangulo e do retangulo:

$A=x^2tg(\theta)+2xy$

E queremos que esta área seja igual a 1, então:

$x^2tg(\theta)+2xy=1$

Então vamos guardar esta equação e vamos agora montar a função perimetro. Para a função perimetro devemos primeiro determinar o tamanho da lateral "l" superior do triangulo, para isso utilizaremos novamente trigonometria:

$cos(\theta)=\frac{x}{l}$

$l=\frac{x}{cos(\theta)}$

Agora que sabemos quanto vale este lado, vamos somar todos os lados:

$P(x,y,\theta)=2x+2y+\frac{2x}{cos(\theta)}$

Agora temos uma função de três variaveis e  uma equação de três variaveis:

$P(x,y,\theta)=2x+2y+\frac{2x}{cos(\theta)}$

$x^2tg(\theta)+2xy=1$

Vamos utilizar os multiplicadores de Lagrange:

$\vec{\nabla}f(x,y,\theta)=\lambda\vec{\nabla}g(x,y,\theta)$

Onde f será nossa função perimetro e g nossa equação da área. Então separando as derivadas:

$2+\frac{2}{cos(\theta)}=\lambda (2x.tg(\theta)+2y)$

$2=\lambda (2x)$

$2x.sec(\theta).tg(\theta)=\lambda (x^2.sec^2(\theta))$

Ajeitando estas equações:

$1+\frac{1}{cos(\theta)}=\lambda (x.tg(\theta)+y)$

$1=\lambda (x)$

$2.sen(\theta)=\lambda (x)$

Desta equações tiramos então que:

$x=\frac{1}{\lambda}$

$sen(\theta)=\frac{x\lambda}{2}$

Que por sua vez nos da que:

$sen(\theta)=\frac{x\lambda}{2}$

$sen(\theta)=\frac{1}{2}$

$\theta=\frac{\pi}{6}$

Que nos da:

$1+\frac{1}{cos(\theta)}=\lambda (x.tg(\theta)+y)$

$1+\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\lambda (\frac{1}{\lambda}.\frac{sqrt{3}}{3}+y)$

$1+\frac{2\sqrt{3}}{3}=\frac{sqrt{3}}{3}+\lambda y$

$\frac{3+\sqrt{3}}{3}=\lambda y$

$y=\frac{3+\sqrt{3}}{3\lambda}$

Então pegando a equação e substituindo os valores:

$x^2tg(\theta)+2xy=1$

$(\frac{1}{\lambda})^2(\frac{\sqrt{3}}{3})+2.(\frac{1}{lambda}).(\frac{3+\sqrt{3}}{3\lambda})=1$

$(\frac{\sqrt{3}}{3})+2.(\frac{3+\sqrt{3}}{3})=(\lambda )^2$

$(\lambda )^2=(\frac{\sqrt{3}}{3})+(\frac{2\sqrt{3}}{3})+2$

$(\lambda )^2=\sqrt{3}+2$

$\lambda=\sqrt{\sqrt{3}+2}$

Então podemos encontrar x e y:

$x=\frac{1}{\lambda}$

$x=\frac{1}{\sqrt{\sqrt{3}+2}}$

$y=\frac{3+\sqrt{3}}{3\lambda}$

$y=\frac{3+\sqrt{3}}{3\sqrt{\sqrt{3}+2}}$

$y=\frac{1}{\sqrt{\sqrt{3}+2}}+\sqrt{\frac{1}{3\sqrt{3}+6}}$

Então temos os valores para o menor perimetro:

$x=\frac{1}{\sqrt{\sqrt{3}+2}}$

$y=\frac{1}{\sqrt{\sqrt{3}+2}}+\sqrt{\frac{1}{3\sqrt{3}+6}}$

$\theta=\frac{\pi}{6}$