Question

Deseja-se construir uma caixa, de forma cilíndrica, de 1 m de volume. Nas laterais e no fundo será utilizado material que custa 10 reais o metro quadrado e na tamna material de 20 reais o metro quadrado. Determine as dinensões da caixa que mininizem o custo do material empregado.

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Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Answer 2

Com base no estudo sobre otimização, temos que as dimensões são

$r=\sqrt[3]{\dfrac{1}{3\pi }}\:\:e\:h=\sqrt[3]{\dfrac{9}{\pi }}$

Problema de otimização

Otimização é o processo de encontrar valores máximos e mínimos dados restrições usando cálculo. Alguns exemplos onde a otimização é necessária

• O lucro máximo;
• O tempo mínimo de viagem;
• Ou possivelmente o gabinete menos caro

Devemos traduzir o problema ou imagem em funções utilizáveis ​​para encontrar os valores extremos. Alguns passos são necessários serem seguidos:

• Passo 1: Devemos traduzir o problema usando símbolos de atribuição, variáveis ​​e esboços, quando aplicável, encontrando duas equações: uma é a equação primária que contém a variável que desejamos otimizar e a outra é chamada de equação secundária, que contém as restrições .
• Passo 2: Devemos substituir a equação secundária na equação primária e simplificar
• Passo 3: Peguemos a primeira derivada desta equação simplificada e igualemos a zero para encontrar os números críticos.
• Passo 4: Verifiquemos se nossos números críticos produzem o resultado otimizado desejado (ou seja, valor máximo ou mínimo).

Com isso podemos resolver o exercício.

$V\:=\:\pi \cdot R^2\cdot H\:\Rightarrow \:1\:=\:\pi \cdot R^2\cdot H\:\Rightarrow \:H\:=\:\dfrac{1}{\pi R^2}$

$C\:=\:10\cdot \left(Ab\:+\:Al\right)\:+\:20\cdot At\:\Rightarrow \:C\:=\:10\cdot \left(\pi \cdot R^2\:+\:2\cdot \pi \cdot R\cdot H\right)\:+\:20\cdot \left(\pi \cdot R^2\right)\\\\\Rightarrow \:C\:=\:30\cdot \pi \cdot R^2\:+\:20\cdot \pi \cdot R\cdot H$

$C\:=\:30\pi \:R^2\:+\:20\pi \:R\left(\dfrac{1}{\pi \:}R^2\right)\:$

Agora vamos derivar e igualar a zero:

$C'\:=\:2\left(30\pi R\right)\:+\:\left(-1\right)20R^{\left(-2\right)}\Rightarrow C'\:=\:60\pi R\:-\:\dfrac{20}{R^2}\Rightarrow C'\:=\:0\:\Rightarrow \:60\cdot \pi \cdot R\:=\:\dfrac{20}{R^2}$

$3\pi R^3\:=\:1\:\Rightarrow R^3\:=\:\dfrac{1}{3\pi }\Rightarrow \:R\:=\:\dfrac{1}{\sqrt[3]{3\pi }}$

$H\:=\:\dfrac{1}{\pi R^2}\:\Rightarrow \:H\:=\:\dfrac{1}{\pi \dfrac{1}{\left[\sqrt[3]{3\pi \:\:}\right]^2}}\:\Rightarrow \:H=\dfrac{1}{\pi \cdot \dfrac{1}{\sqrt[3]{9\pi ^2}}}=\dfrac{\sqrt[3]{9\pi ^2}}{\pi }=\sqrt[3]{\dfrac{9}{\pi }}$

Saiba mais sobre otimização:https://brainly.com.br/tarefa/20187016

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