Question

Deseja-se construir e cercar uma área de lazer retangular com uma área total de 900 m2. A cerca que delimitará o perímetro da área de lazer tem um custo de R$ 5,50/m. Se o objetivo principal é construir a área com a menor quantidade de cerca utilizada, analise as afirmações apresentadas. Lembre-se que a área de um retângulo é dada pelo produto da largura pelo comprimento e que o perímetro é a soma de todos os lados.

I) As medidas que minimizam o consumo de cerca são 30 m x 30 m.
II) O custo mínimo da cerca será de R$ 660,00.
III) O perímetro mínimo da construção será de 150 m.

Answer 1

Podemos afirmar então que apenas a alternativa I e II, estão corretas.

Vamos aos dados/resoluções:  

Precisamos montar um sistema de equações para resolver esse exercício, logo, sabemos que o perímetro e a soma dos lados, temos que duas vezes a largura mais duas vezes o comprimento e igual ao perímetro, então:

perímetro = 2p

x = largura

y = comprimento

Colocando na formula, temos:

(2*y+2*x) = (2p)

Temos também que a área e a multiplicação da largura pelo comprimento:

x = largura

y = comprimento

A(x,y)=x*y

Sabemos que a área é 900m²  , portanto ;

900 = x*y

y=(900)/x

Agora montaremos a equação do custo:

Lembrando que o custo da cerca é 5,5 reais/m

C(x,y)=5,5(2p) = 5,5*(2x+2y)

C(x,y)=11*(x+y)

Substituindo, temos:

C(x,y) = 11*(x+900/x)

Como queremos o custo mínimo, iremos derivar e encontrar o ponto crítico:

dC/dx=11(1-900/x²)=0

1-900/x²=0

x²=900

x=30m

Calculada a dimensão mínima para a largura, podemos calcular a medida minima para o comprimento substituindo o valor de x na equação:

y =900/x= 900/30=30m

Sendo assim:

I) alternativa I correta: as medidas que miniminizam o consumo de cerca são 30 m x 30 m, como calculado anteriormente.

II) Substituindo na formula C(x,y)=11*(x+y), podemos achar o valor minimo para o Custo, então temos:

C(x,y) = 11*(30+30) = 660

Ou seja, alternativa correta, o custo minimo da cerca sera realmente de 660 reais.

III) O perímetro minimo da construção será de (2*x+2*y) = (60+60) =120. Portanto alternativa incorreta. O perímetro mínimo sera de 120 m e não de 150 m.

Assim, temos que as alterativas corretas serão a I e a II, alternativa 2 e a correta.

espero ter ajudado nos estudos, bom dia :)