Question

Deseja-se construir e cercar uma área de lazer retangular com uma área total de 900 m2. A cerca que delimitará o perímetro da área de lazer tem um custo de R$ 5,50/m. Se o objetivo principal é construir a área com a menor quantidade de cerca utilizada, analise as afirmações apresentadas. Lembre-se que a área de um retângulo é dada pelo produto da largura pelo comprimento e que o perímetro é a soma de todos os lados.

I) As medidas que minimizam o consumo de cerca são 30 m x 30 m.
II) O custo mínimo da cerca será de R$ 660,00.
III) O perímetro mínimo da construção será de 150 m.

É correto o que se afirma em:

Alternativas
Alternativa 1:
I apenas

Alternativa 2:
I e II apenas

Alternativa 3:
I e III apenas

Alternativa 4:
II e III apenas

Alternativa 5:
I, II e III

Answer 1

Alternativa 2: I e II corrretas, apenas.

Precisamos montar um sistema de equacoes para resolver esse exercicio:

Sabemos que o perimetro e a soma dos lados, temos que duas vezes a largura mais duas vezes o comprimento e igual ao perimetro, entao:

perimetro = 2p

x = largura

y = comprimento

Colocando na formula, temos:

(2*y+2*x) = (2p)

Temos tambem que a area e a multiplicacao da largura pelo comprimento:

x = largura

y = comprimento

A(x,y)=x*y

Sabemos que a area e 900m²

900 = x*y

y=(900)/x

Agora montaremos a equacao do custo:

Lembrando que o custo da cerca e 5,5 reais/m

C(x,y)=5,5(2p) = 5,5*(2x+2y)

C(x,y)=11*(x+y)

Substituindo, temos:

C(x,y) = 11*(x+900/x)

Como queremos o custo mínimo, iremos derivar e encontrar o ponto crítico:

dC/dx=11(1-900/x²)=0

1-900/x²=0

x²=900

x=30m

Calculada a dimensao minima para a largura, podemos calcular a medida minima para o comprimento substituindo o valor de x na equacao:

y =900/x= 900/30=30m

Sendo assim:

I) alternativa I correta: as medidas que miniminizam o consumo de cerca sao 30 m x 30 m, como calculado anteriormente.

II) Substituindo na formula C(x,y)=11*(x+y), podemos achar o valor minimo para o Custo, entao temos:

C(x,y) = 11*(30+30) = 660

Ou seja, alternativa correta, o custo minimo da cerca sera realmente de 660 reais.

III) O perimetro minimo da construcao sera de (2*x+2*y) = (60+60) =120. Portanto alternativa incorreta. O perimetro minimo sera de 120 m e nao de 150 m.

Assim, temos que as alterativas corretas serao a I e a II, alternativa 2 e a correta.