Question

Desde o ensino médio trabalhamos com retas tangentes. A grosso modo, na geometria, a tangente de uma curva y em um certo ponto T pertencente à curva, é uma reta. Esta reta é definida através de um outro ponto S, que também pertence à curva e se localiza muito próximo do ponto P. No decorrer da teoria de derivada de uma função, pudemos observar que a inclinação m da reta tangente à uma curva y = f(x) no ponto P(a, f(a)) é igual à derivada de f em a. Consequentemente, dizemos que a reta tangente à y = f(x) em (a, f(a)) é a reta que passa em (a, f(a)), cuja inclinação é dada por f’(a).

Sabendo disso, encontre uma equação da reta tangente à curva y = (4x²+1)³ no ponto (1, 125).

Answer 1

A equação da reta tangente à curva y = (4x² + 1)³ no ponto (1,125) é y = 600x - 475.

Primeiramente, é importante lembrarmos que a equação da reta tangente é da forma y - y₀ = f'(x₀)(x - x₀), sendo (x₀,y₀) o ponto no qual a reta será tangente à curva.

Dito isso, precisamos derivar a função f(x) = (4x² + 1)³. Derivando a função f, obtemos:

f'(x) = 3(4x² + 1)².(4x² + 1)'

f'(x) = 3(4x² + 1)².(8x)

f'(x) = 24x(4x² + 1)².

Como o ponto é (1,125), então x₀ = 1 e y₀ = 125. Calculando f'(1):

f'(1) = 24.1(4.1² + 1)²

f'(1) = 24(4 + 1)²

f'(1) = 24.5²

f'(1) = 24.25

f'(1) = 600.

Portanto, a equação da reta tangente é:

y - 125 = 600(x - 1)

y - 125 = 600x - 600

y = 600x - 475.