Descubras as raízes recíprocas da equação: 2x2 + (b-3).x + 2c - 10 = 0
Soluções para a tarefa
Se R é raiz dessa equação, então 1/R também é (isso que raízes recíprocas significa). Ou seja, o produto das raizes é R*(1/R) = 1. Lembrando que numa equação do segundo grau
Ax² + Bx + C = 0
o produto das raízes é exatamente C/A
Assim, no seu problema devemos ter
(2c-10) / 2 = 1
2c - 10= 2
2c = 12
c = 6
Assim, devemos ter c = 6
Mas b pode assumir qualquer valor, pois a única restrição é que o produto seja 1. E isso não restringe a soma. Por exempl0,
a equação:
2x² - 4x + 2 = 0 tem raízes recíprocras 1 e 1
2x² + 5x + 2 = 0 tem raízes recíprocas -1/2 e -2
Mas embora as raízes serão recíprocas para qualquer valor de b, nem sempre as raizes serão reais:
2x² + 0x + 2 = 0 não tem raízes reais. (mas tem raízes complexas recíprocas).
Se quisermos raízes reais devemos ter Δ ≥ 0. Ou seja:
Δ ≥ 0
(b-3)² - 4*2*2 ≥ 0
b² - 6b + 9 - 16 ≥ 0
b² - 6b - 7 ≥ 0
Como as raízes da equação acima são -1 e 7, fazendo o estudo do sinal temos
b ≤ -1 ou b ≥ 7
Logo a resposta será:
c = 6 e b = qualquer número OU
c = 6 e (b ≤ -1 ou b ≥ 7) caso as raízes devam ser reais.