Question

Descubra os algarismos correspondentes às letras A, B, C e D. 1cc+bb3=aadd

Answer 1

Seja o número $n = a_m \ldots a_2a_1a_0$ um número escrito na base k e cada um dos $a_i$ um algarismo (lembrando que $a_i \in \{ 0, 1,2,\ldots , k-1 \}$ quando estamos falando de algarismos). Temos que $n = k^0a_0 + k^1a_1 + k^2a_2+\ldots +k^ma_m$. Considerando a base como desconhecida temos:

1cc = 1.k² + c.k + c => 1cc = k² + c(k+1)
bb3 = b.k² + b.k + 3 => bb3 = 3 + bk(k+1)
aadd = a.k³ + a.k² + d.k + d => aadd = ak²(k+1) + d(k+1)

Substituindo isso na igualdade temos que:

(k+1)(bk+c) + (k²+3) = (k+1)(ak²+d)  *

Como todo mundo aí tem que ser natural temos que k+1 tem que dividir k²+3 = k²+2k+1+2(1-k). Daí:

$\frac{(k+1)^2-2(k-1)}{k+1} = t, \ t \in \mathbb{Z} \\ \\ k+1- \frac{2(k-1)}{k+1} = t$

Fazendo k+1 = j temos que k-1 = j-2. Daí:

$j - \frac{2(j-2)}{j} = t \Rightarrow j - \frac{2j-4}{j} = t \Rightarrow j-2 + \frac{4}{j} = t$

Portanto, para que t seja inteiro, e k+1 dividir k²+3, temos que j=1, 2 ou 4; caso contrário t seria racional, k+1 não dividiria k²+3 e não encontraríamos algarismos. Daí os possíveis valores de k, a base, são k=0, 1 ou 3, porém desses só convém k=3.

Por causa do fato de k=3 temos que bb3 tem que ser reescrito como b(b+1)0, já que 3 não é um algarismo da base 3.
Independente da base temos que 0+c=c, daí, observando as unidades dos números em ambos os membros da igualdade, temos que c=d. Usando isso em * temos:

4(3b+c) + 12 = 4(9a+d) => 3b+c + 3 = 9a+c => 3a = b+1

Então a única possibilidade para a e b para que ambos sejam algarismos da base 3 é a=1 e b=2, enquanto que c=d=0, 1 ou 2.